Минимум на интеграл

[Гост]

За кои стойности на реалния параметър а, [tex]0<a<1[/tex] интегралът [tex]\int\limits_{0}^{ \infty } \frac{dx}{ x^{a }(x+1) }[/tex] достига минимум?

[vezni]

За бета функцията имаме следната формула
$\Beta(x,y)=\int_0^{\infty}\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}dt\qquad x,y>0$
Доказва се със смяна на променливите $u=\frac{t}{t+1} \Rightarrow t=\frac{u}{1-u}\Rightarrow dt=\frac{du}{(1-u)^2}$
$\int_0^{\infty}\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}dt=\int_0^1\frac{\left(\frac{u}{1-u}\right)^{x-1}}{\left(\frac{1}{1-u}\right)^{x+y}}\frac{1}{(1-u)^2}du=\int_0^1 u^{x-1}(1-u)^{x+y-x+1-2}du=\int_0^1 u^{x-1}(1-u)^{y-1}du=B(x,y) $
Като използваме формулата, получаваме
$\int_0^{\infty}\frac{dx}{x^{a}(1+x)}dx=\int_0^{\infty}\frac{x^{(1-a)-1}}{(1+x)^{(1-a)+a}}dx=\Beta(1-a,a)=$
$=\frac{\Gamma(1-a)\Gamma(a)}{\Gamma(1)}=\Gamma(1-a)\Gamma(a)=\frac{\pi}{\sin\pi a}$
Остава да се изследва функцията $f(a)=\frac{\pi}{\sin\pi a}, 0<a<1$
$f'(a)=-\frac{\pi^2\cos\pi a}{\sin^2\pi a} $
$f$ е намаляваща за $a\in\left(0,\frac{1}{2}\right]$, растяща за $a\in\left[\frac{1}{2}, 1\right)$
минимум при $a=\frac 12$, $f\left(\frac 12\right)=\pi$.