Граница със сума от 1 до n^2

[seppen]

[tex]\lim_{n\to \infty} \sum _{i=1} ^{n^2} \frac{n}{n^2 + i^2} = ?[/tex]

По принцип съм я решила, но искам да видя какво мислите по въпроса.

[martin.nikolov]

Така както е написана клони към безкрайност.

[tex]\frac{n}{n^2+i^2}\ge \frac{n}{n^2+n^2}=\frac{1}{2n}[/tex]

Следователно

[tex]\sum_{i=1}^{n^2}\frac{n}{n^2+i^2}\ge \sum_{i=1}^{n^2}\frac{1}{2n}=\frac{n}2[/tex]

[pipi langstrump]

Да не би да е от 1 до n? Тогава се решава с интеграл. Иначе, както каза martin.nikolov, е разходяща.

[seppen]

[tex]\frac{n}{n^2+i^2}\ge \frac{n}{n^2+n^2}=\frac{1}{2n}[/tex]

[tex]\frac{n}{n^2+i^2}\ge \frac{n}{n^2+n^4} \ne \frac{1}{2n}[/tex]

Опитах се да го реша с интеграл, но като гледам какво съм писала, май се оплитам.
Мисля, че трябва да се докара до това [tex]\lim _{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum _{i=1} ^{n} f(i/n) = \int _0 ^1 f(x) dx[/tex]

[tex]\lim _{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum _{i=1} ^{n^2} \frac{n}{1+n^2 (i/n^2)^2} = \lim_{n \to \infty} \int _0 ^1 \frac{n}{1+(nx)^2} dx = \lim_{n\to \infty} arctan (n)=\frac{\pi}{2}[/tex]
Но се притеснявам, че имам не само i/n^2, а и други n тук-там в тази f(x).

[martin.nikolov]

Да, виярно, сбъркал съм. Но така като си го написал не е коректно.

[seppen]

Би ли написал как трябва да се реши?

[martin.nikolov]

Би ли написал как трябва да се реши?

Това към мен ли е? За сега не съм я решил. Ако остане време ще я мисля още защото е интересна.

[Mark]

Сега видях задачата, прочетох и написаното до момента.В този пример, както и когато е в граници от [tex]0[/tex] до [tex]n[/tex], все се използва дефиницията за определен интеграл.
[tex]\lim_{n\to\infty} n\sum_{i=1}^{n^2} \frac{1}{n^2+i^2}=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n^2}\frac{1}{1+\frac{i^2}{n^2}}[/tex][tex]=\lim_{n\to\infty} \int_{0}^{n} \frac{1}{1+x^2}=\lim_{n\to\infty} arctg{x}|_{0}^{n}=\frac{\pi}{2}[/tex]