Граници

[KrTor]

1. [tex]\lim_{x\to\0} \frac{1}{x^2}\left(\sqrt[3]{1 + \frac{sin^5x}{x^3}} - cos5x\right)[/tex]


2.[tex]\lim_{n\to\infty} \left(2e^{\frac{1}{n+1}} - 1\right)^{\frac{n^2 + 1}{n}}[/tex]


3.[tex]\lim_{x\to\0^+} \frac{1-x}{1-e^{\frac{x}{1-x}}[/tex]

4. [tex]\lim_{n\to\infty} \left(\frac {3^x - xln3}{4^x - xln4}\right)^{\frac{1}{x^2}[/tex]

[Anubis]

[tex]\lim_{n \to +\infty} \left ( 2e^{\frac{1}{n+1}}-1 \right )^{\frac{n^2+1}{n}}[/tex]

При директен граничен преход получаваме неопределеността [tex]\left [ 1^{\infty}\right ][/tex].

Когато търсим границата [tex]\lim_{x \to x_{0}} \left ( f(x) \right )^{g(x)}[/tex] и получим [tex]\left [ 1^{\infty} \right ][/tex], стойността на границата е [tex]e^a[/tex], където

[tex]a = \lim_{x \to x_{0}} g(x) \left [ f(x)-1 \right ][/tex]. В нашия случай намираме, че

[tex]a = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2+1}{n}. \left ( 2e^{\frac{1}{n+1}}-2 \right ) = 2 \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2+1}{n}. \left ( e^{\frac{1}{n+1}}-1 \right ) = 2 \lim_{n \to +\infty} \left ( e^{\frac{1}{n+1}}-1 \right ) . \frac{1}{\frac{n}{n^2+1}}[/tex].

Понеже [tex]\lim_{n \to +\infty} \left ( e^{\frac{1}{n+1}}-1 \right ) = 0[/tex] и [tex]\lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n^2+1}=0[/tex], стигаме до неопределеността [tex]\left [ \frac{0}{0} \right ][/tex]. Прилагаме еднократно

правилото на Лопитал, т. е. ако [tex]\lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)} \, \left [ \frac{0}{0} \right ][/tex], то [tex]\lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f'(x)}{g'(x)}[/tex]. По този начин намираме

[tex]2 \lim_{n \to +\infty} \left ( e^{\frac{1}{n+1}}-1 \right )' . \frac{1}{ \left ( \frac{n}{n^2+1} \right )'} = 2 \lim_{n \to +\infty} e^{\frac{1}{n+1}} . \left ( -\frac{1}{(n+1)^2} \right ) . \frac{1}{\frac{n^2+1-n.2n}{(n^2+1)^2}} = -2 \lim_{n \to +\infty} e^{\frac{1}{n+1}} . \frac{(n^2+1)^2}{-n^2+1}.\frac{1}{(n+1)^2}[/tex].

Използваме еквивалентни функции, следователно

[tex]-2 \lim_{n \to +\infty} e^{\frac{1}{n+1}}.\frac{n^4}{-n^2}.\frac{1}{n^2} = 2 \lim_{n \to +\infty} e^{\frac{1}{n+1}} = 2[/tex], т. е. [tex]a=2 \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} \left ( 2e^{\frac{1}{n+1}}-1 \right )^{\frac{n^2+1}{n}} = e^a = e^2[/tex].