Интеграл

[Гост]

Здравейте, някой може ли да помогне
Да се пресметне интегралът [tex]\int\limits_{0}^{ \frac{ \pi }{4} } \frac{sin2x}{ sin^{4 }x + cos^{4 } x}dx[/tex]

Благодаря!

[grav]

[tex]u=sin^2x[/tex]

[vezni]

$\sin^4x+\cos^4x=\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^2-2\sin^2x\cos^2x=1-\frac{\sin^2 2x}{2}=1-\frac{1-\cos^2 2x}{2}=\frac{1+\cos^2 2x}{2}$
$\Rightarrow \int_0^{\pi/4}\frac{\sin 2x}{\sin^4x+\cos^4x}\,dx=\int_0^{\pi/4}\frac{2\sin 2x}{1+\cos^2 2x}\,dx$.
След смяната $t=\cos 2x$ интегралът се трансформира в
$\int_0^1\frac{dt}{1+t^2}=\arctg t\Big\rvert_0^1=\frac{\pi}{4}$