Сходимост

[complex]

За кой стойности е сходящ интеграла, q>0:
[tex]\int_0^{+\infty} \! \frac{x^p arctgx}{2+x^q } \, dx[/tex]

[Anubis]

Разделяме на два интеграла, получаваме

[tex]\int_{0}^{+\infty} \frac{x^p \arctan x}{2 + x^q} \operatorname{d}x = \int_{0}^{a} \frac{x^p \arctan x}{2 + x^q} \operatorname{d}x + \int_{a}^{+\infty} \frac{x^p \arctan x}{2 + x^q} \operatorname{d}x[/tex].

Но [tex]\int_{0}^{a} \frac{x^p \arctan x}{2 + x^q} \operatorname{d}x \sim \int_{0}^{a} \frac{x^{p+1}}{2 + x^q} \operatorname{d}x[/tex], откъдето трябва да е изпълнено [tex]- \left ( p + 1 \right ) < 1 \Leftrightarrow p>-2[/tex].

Знаменателят не ни създава никакви проблеми.

Второто можем да го запишем просто като [tex]\int_{a}^{+\infty} \frac{x^p}{2 + x^q} \operatorname{d}x \sim \int_{a}^{+\infty} \frac{x^p}{x^q} \operatorname{d}x \sim \int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{q-p}} \operatorname{d}x[/tex].

Оттук [tex]q-p>1[/tex].

Така интегралът ни е сходящ точно при [tex]p>-2[/tex] и [tex]q-p>1[/tex].

[complex]

Благодаря за отговора ти, изясниха ми се.

[complex]

Само едно малко дооточнение. Нужно ли е да разделяме интервала на 0-а а-+? след като при 0 нито горната функция нито долната има проблем?