Да се намерят дефиноционното множество и ....

[Гост]

Да се намерят дефиниционното множетво, интервалите на растене и намаляване и екстремумите на f(x)
f(x)=2x^2+x+1 върху x-4

[mail_dinko]

[tex]y = \frac {2x^2 +x+1}{x-4}[/tex]
[tex]DM: x \ne 4[/tex]
[tex]y ' = \frac {(4x+1 )(x-4) - (2x^2 +x + 1)} {(x-4)^2} = \frac {4x^2 +x - 16x - 4- 2x^2-x-1} {(x-4)^2}= \frac { 2x^2 -16 x-5}{(x-4)^2}[/tex]
[tex]y'= 0 \Leftrightarrow \frac { 2x^2 -16 x-5}{(x-4)^2} =0[/tex]
[tex]D= 64+10 = 74[/tex]
[tex]x_{1,2} = \frac {8 \pm \sqrt {74}}{2}[/tex]
Нататък някой да продължи с изследването, т.к. не съм го правил от 10 г

[nikola.topalov]

Функцията $$f(x)=\dfrac{2x^2+x+1}{x-4}$$ е дефинирана в множеството [tex]D=\{x\in\mathbb{R}|x\ne 4\}[/tex]. Намираме първата производна на функцията $$f'(x)=\dfrac{2x^2-16x-5}{(x-4)^2}$$ която се анулира в точките $$x=4\pm\sqrt{\dfrac{37}{2}}\in D$$ С помощта на метода на интервалите разбираме, че $$f'(x)>0:x\in\left(-\infty,4-\sqrt{\dfrac{37}{2}}\right)\cup\left(4-\sqrt{\dfrac{37}{2}},+\infty\right)$$ и $$f'(x)<0:x\in\left(4-\sqrt{\dfrac{37}{2}},4\right)\cup\left(4,4+\sqrt{\dfrac{37}{2}}\right)$$ Там, където [tex]f'(x)>0[/tex], функцията [tex]f(x)[/tex] е растяща, а където [tex]f'(x)<0[/tex] [tex]-[/tex] намаляваща. Оттук си правим извод, че $$f_{\max}=f\left(4-\sqrt{\dfrac{37}{2}}\right)=17-2\sqrt{74}$$ и $$f_{\min}=f\left(4+\sqrt{\dfrac{37}{2}}\right)=17+2\sqrt{74}$$