Две функции

[Гост]

а) Намерете най-малката стойност на функцията f(x) = [tex]4^{ sin^{2 } \pi x }[/tex] + [tex]4^{ cos^{2 } \pi x }[/tex], x[tex]\in[/tex]R и най-голямата стойност на функцията g(x)= -8[tex]x^{2 }+12|x| - \frac{1}{2}[/tex], x[tex]\in[/tex]R
б) Решете уравнението f(x)=g(x), x[tex]\in[/tex]R

Малко помощ

[nikola.topalov]

Функцията [tex]f(x)[/tex] е еквивалентна на $$f(x)=4^{\sin^2(\pi x)}+\dfrac{4}{4^{\sin^2(\pi x)}}$$ Вече се вижда, че можем да положим [tex]t=4^{\sin^2(\pi x)}[/tex] и да образуваме нова функция $$h(t)=t+\dfrac{4}{t}$$ Нека отбележим все пак, че $$0\leq \sin^2(\pi x)\leq 1$$ и следователно $$1\leq 4^{\sin^2(\pi x)}=t\leq 4$$ Това означава, че $$\min\limits_{x\in\mathbb{R}} f(x)=\min\limits_{1\leq t\leq 4} h(t)$$ Пресмятаме първата производна на [tex]h(t)[/tex]: $$h'(t)=1-\dfrac{4}{t^2}=\dfrac{(t-2)(t+2)}{t^2}$$ която се анулира в точките [tex]x=\pm 2[/tex], като само [tex]x=2[/tex] попада в интервала, в който разглеждаме функцията. Имаме, че [tex]h(t)[/tex] е намаляваща в [tex](-2,2)[/tex] и растяща в [tex](-\infty, -2)\cup(2,+\infty)[/tex], т.е. $$\min\limits_{1\leq t\leq 4} h(t)=h(2)=4$$ Да видим сега [tex]g(x)[/tex]. Първата производна $$g'(x)=-16x+\dfrac{12x}{|x|}$$ се анулира за [tex]x=\pm\dfrac{3}{4}[/tex] и [tex]x=0[/tex]. Оттук съобразяваме, че $$\max\limits_{x\in\mathbb{R}} g(x)=g\left(\pm\dfrac{3}{4}\right)=4$$ Тъй като [tex]f(x)\geq 4[/tex] и [tex]g(x)\leq 4[/tex], то уравнението [tex]f(x)=g(x)[/tex] може да има най-много два корена (защото [tex]g(x)[/tex] има два локални максимума). Лесно се проверява, че [tex]f\left(\pm\dfrac{3}{4}\right)=g\left(\pm\dfrac{3}{4}\right)[/tex], следователно единствените корени на уравненито са [tex]x=\pm\dfrac{3}{4}[/tex].