Параметрична граница

[Гост]

Намерете границата [tex]\lim_{x \to \infty } (\frac{a ^{x } -1}{ax-x}) ^{ \frac{1}{x} }[/tex] в зависимост от реалния параметър a.

[pipi langstrump]

[tex]\left(\frac{a ^{x } -1}{ax-x}\right)^{ \frac{1}{x} }=\frac{x\left(\sqrt[x]{ \frac{a^x-1}{x(a-1)}} -1\right) }{x } +1[/tex]

Числителя клони към $\ln\frac{\ln a}{a-1}$, а знаменателя към безкрайност. Значи границата е 1 за всяко $a$ от допустимите й стойности.

[Гост]

vinagi li e ravna na 1?

[pipi langstrump]

vinagi li e ravna na 1?

Ами не, сбъркал съм я тотално. Не знам защо съм решил, че a^x-1/x клони към lna, при х клонящо към безкрайност.

Значи разглеждаме 2 случая - $0\le a<1$ и $a>1$. В първия случай се вижда, че границата е 1, а във втория - $a$.