Един интеграл

[Гост]

Някой, може ли да обясни как се решава този интеграл:

Интеграл.jpg (3.69 KiB) Прегледано 274 пъти

[Davids]

Врътката става с една итерация интегриране по части.

Нека $u = \ln^mx$ и $v' = 1$.

Тогава $u' = \frac{m}{x}\ln^{m-1}x$ и $v = x$, та по познатата формула за интегриране по части: $\int uv'dx = uv - \int u'vdx$ получаваме

$I_m = \int_1^e\ln^mxdx =$
$= \Biggl[x\ln^mx\Biggr]_1^e - \int_1^e\frac{m}{\cancel{x}}\ln^{m-1}(x)\cdot\cancel{x}dx =$
$= \Bigl[e\ln^m(e) - 1\ln^m(1)\Bigr] - m\int_1^e\ln^{m-1}(x)dx =$
$= e - mI_{m-1}$