Функции

[Гост]

Дадени са функциите f(x)=[tex]\frac{1+ x^{2 } }{x}[/tex] и g(x)=[tex]\sqrt{2. 3^{x+1 }- 9^{x } -5}[/tex]. Да се докаже, че уравнението f(x)=g(x) има точно един корен. Да се намери този корен.
Някой може ли да помогне

[peyo]

Дадени са функциите f(x)=[tex]\frac{1+ x^{2 } }{x}[/tex] и g(x)=[tex]\sqrt{2. 3^{x+1 }- 9^{x } -5}[/tex]. Да се докаже, че уравнението f(x)=g(x) има точно един корен. Да се намери този корен.
Някой може ли да помогне

djfghkjdghdjghskf.png (18.43 KiB) Прегледано 339 пъти

Да. Само един корен около 1.

[nikola.topalov]

Надявам се поне с допустимите стойности сте се справили: $$D=\{x\in\mathbb{R}|0<x<\log_3 5\}$$ Да си означим $$f(x)=\dfrac{1+x^2}{x}=x+\dfrac{1}{x}$$ Понеже [tex]x[/tex] е положително число, то $$f(x)=x+\dfrac{1}{x}\geqq 2$$ от неравенството на Коши. Нека сега си означим $$g(x)=\sqrt{2\cdot 3^{x+1}-9^x-5}$$ и $$h(x)=2\cdot 3^{x+1}-9^x-5$$ Имаме, че $$\max\limits_{x\in D} g(x)=\sqrt{\max\limits_{x\in D} h(x)}$$ Да положим [tex]t=3^x>0[/tex] за удобство. Получаваме нова функция [tex]k(t)=6t-t^2-5[/tex], за която е изпълнено $$\max\limits_{x\in D} h(x)=\max\limits_{t>0}k(t)$$ Първата производна [tex]k'(t)=6-2t[/tex] се анулира в [tex]t=3>0[/tex]. Тъй като [tex]k(t)[/tex] е растяща в [tex](-\infty,3)[/tex] и е намаляваща в [tex](3,+\infty)[/tex], то $$\max\limits_{t>0}k(t)=k(3)=4$$ Оттук намираме и $$\max\limits_{x\in D} g(x)=2$$ Излезе, че $$\min\limits_{x\in D} f(x)=\max\limits_{x\in D} g(x)=2$$ Освен това [tex]g(x)[/tex] достига своя максимум само за [tex]x=1[/tex] (от [tex]3^x=3[/tex]), следователно у-то [tex]f(x)=g(x)[/tex] може да има най-много един корен, за който да е изпълнено [tex]f(x)=g(x)=2[/tex]. Оказва се, че [tex]x=1[/tex] е този корен.