Монотонност

[Гост]

Screenshot_20220222_133228_com.huawei.browser_edit_75993304375903.jpg (51.6 KiB) Прегледано 275 пъти

[Davids]

Ще хванем г), другите сам/а:

$f(x) = x - 2\arctg x$
$f'(x) = 1 - \frac{2}{1+x^2}$

Значи решавайки уравнението $f'(x) = 0$, виждаме, че първата производна се занулява в точките $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

За $x = -1$ $f'$ си сменя знака от плюс на минус, значи имаме локален максимум на $f$.
За $x = 1$ $f'$ си сменя знака от минус на плюс, значи имаме локален минимум на $f$.

Тоест можем да направим заключението:
- за $x\in(-\infty, -1]$ $f$ нараства, достигайки локален максимум $(-1, f(-1)) = \left(-1, \frac{\pi}{2} - 1\right)$

- за $x\in[-1, 1]$ $f$ намалява, достигайки локален минимум $(1, f(1)) = \left(1, 1 - \frac{\pi}{2}\right)$

- за $x\in[1, +\infty)$ $f$ нараства отново и клони към $+\infty$.

Анализа на функцията може да разширим още доста, но доколкото разбирам от условието, това се иска.