Две неизвестни

[nikola.topalov]

Да се намерят стойностите на положителните реални числа [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex], за които $$\dfrac{x+y}{x+y+\sqrt{xy}}=\cos(\pi xy)-\dfrac{1}{3}$$

[pal702004]

Минимума на лявата част е равен на максимума на дясната $\dfrac{x+y}{x+y+\sqrt{xy}}\ge \dfrac 2 3\ge \cos(\pi xy)-\dfrac 1 3$

От една страна имаме $x=y$, от друга $\cos(\pi x^2)=1$

Или $x=y=\sqrt{\frac 1 2 +2k},\;\; k \in \mathbb{N_0}$

[nikola.topalov]

Като заместим накрая обаче получаваме [tex]\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\right)=-\sin(2k\pi)=0[/tex].

[pal702004]

Разбира се, обърках го със синус.

[nikola.topalov]

Иначе разсъжденията са правилни, браво! Качвам и малко по-подробно решение: След полагане на [tex]t=\dfrac{x}{y}>0[/tex] функцията $$f(x,y)=\dfrac{x+y}{x+y+\sqrt{xy}}$$ става еквивалентна на $$h(t)=\dfrac{t+1}{t+1+\sqrt{t}}$$ и $$\min\limits_{\substack{x>0\\y>0}}f(x,y)=\min\limits_{t>0}h(t)$$ Първата производна $$h'(t)=\dfrac{t-1}{2\sqrt{t}(t+1+\sqrt{t})^2}$$ се анулира в точката $t=1>0$. Имаме, че [tex]h(t)[/tex] е намаляваща в [tex](-\infty,1)[/tex] и е растяща в [tex](1,+\infty)[/tex], следователно $$\min\limits_{t>0}h(t)=h(1)=\dfrac{2}{3}$$ Това означава, че за [tex]x=y[/tex] функцията [tex]f(x,y)[/tex] достига своя минимум. Да си означим $$g(x,y)=\cos(\pi xy)-\dfrac{1}{3}$$ Понеже $$-1\leqq\cos(\pi x y)\leqq 1\Leftrightarrow -\dfrac{4}{3}\leqq \cos(\pi x y)-\dfrac{1}{3}=g(x,y)\leqq\dfrac{2}{3}$$ то $$\max\limits_{\substack{x>0\\y>0}}g(x,y)=\dfrac{2}{3}$$ Излезе, че $$g(x,y)\leqq\dfrac{2}{3}\leqq f(x,y)$$ От една страна имаме [tex]x=y[/tex], а от друга [tex]\cos(\pi x y)=1[/tex]. От второто уравнение получаваме [tex]xy=2n[/tex] за някакво цяло [tex]n[/tex], като понеже [tex]xy>0[/tex], то [tex]n\in \mathbb{N}[/tex]. И така намираме [tex]x=y=\sqrt{2n}[/tex], [tex]n\in\mathbb{N}[/tex].

[pal702004]

Не разписвах някои неща като очевидни (след като се напишат, разбира се)

$\dfrac{x+y}{x+y+\sqrt{xy}} \ge \frac 2 3$

$3(x+y) \ge 2(x+y+\sqrt{xy})$

$x+y \ge 2\sqrt{xy}$

$(\sqrt x-\sqrt y)^2 \ge 0$