Намерете границата

[Гост]

[tex]\lim_{n \to \infty }[/tex] ([tex]\frac{4}{5}[/tex]sin [tex]\frac{ \pi }{6}[/tex] + [tex]\frac{16}{25}[/tex] sin[tex]\frac{ \pi }{3}[/tex] +.... +[tex]\frac{ 4^{n } }{ 5^{n } }[/tex] sin [tex]\frac{n \pi }{6}[/tex])

[grav]

Стандартният начин е да го разгледаш като имагинерната част на ред с реална част същият израз но с косинуси. Реда ще е геометричен и се сумира стандартно.

[peyo]

[tex]\lim_{n \to \infty }[/tex] ([tex]\frac{4}{5}[/tex]sin [tex]\frac{ \pi }{6}[/tex] + [tex]\frac{16}{25}[/tex] sin[tex]\frac{ \pi }{3}[/tex] +.... +[tex]\frac{ 4^{n } }{ 5^{n } }[/tex] sin [tex]\frac{n \pi }{6}[/tex])

sin e периодична функция е период [tex]2\pi[/tex] значи имаме да сметнем сумата на 12 реда всеки с коефицент който може да се изведе пред скоби:

In [107]: for n in range(1,13):
...: print(latex(sin(n*pi/6)), end=",")
...:
$\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},1,\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0,- \frac{1}{2},- \frac{\sqrt{3}}{2},-1,- \frac{\sqrt{3}}{2},- \frac{1}{2},0,$

12-те реда са:
[tex]r_1 = \sum_{i=0}^{n } (\frac{4}{5})^{12i+1}[/tex] , [tex]r_2 = \sum_{i=0}^{n } (\frac{4}{5})^{12i+2}[/tex] , [tex]r_3 = \sum_{i=0}^{n } (\frac{4}{5})^{12i+3}[/tex] ...

[tex]r_1 = \frac{4}{5} \sum_{i=0}^{n } (\frac{4}{5})^{12i}[/tex] , [tex]r_2= (\frac{4}{5})^2 \sum_{i=0}^{n } (\frac{4}{5})^{12i}[/tex] , [tex]r_3 = (\frac{4}{5})^3\sum_{i=0}^{n } (\frac{4}{5})^{12i}[/tex] ...

[tex]\lim_{n \to \infty }\sum_{i=0}^{n } (\frac{4}{5})^{12i} = \text{сума на геометрична прогресия} = \frac{244140625}{227363409} = K[/tex]

И така сумата която търсим става (което е вече крайно число):

[tex]S = \sum_{i=1}^{12 } (\frac{4}{5})^{i} K sin(i\pi/6)[/tex]

In [128]: print(latex(summation( Rational(4,5)**i*K*sin(i*pi/6), (i,1,12))))
$\frac{200 \sqrt{3}}{481} + \frac{410}{481}$

И получихме хубаво кръгло число...