Интересен неопределен интеграл

[Amenti]

Да се пресметне неопределения интеграл : [tex]\int_{}^{ } \frac{dx}{\sqrt[3]{1+x^3} }[/tex]

Ако може малко по подробно обяснение. Благодаря предварително.

Аз го решавам като интеграл от диференциален бином в 3-ти случай и получвам [tex]-\int_{}^{ } \frac{tdt}{\sqrt[3]{t^{3}-1} }[/tex] което не ми помага особенно

[martin123456]

[tex]\int_{}^{ } \frac{dx}{\sqrt[3]{1+x^3} }[/tex]
[tex]\int{(1+x^3)^{-\frac{1}{3}}dx}[/tex] [tex]\Rightarrow m=0, n=3, p=-\frac{1}{3}[/tex]. Полагаме значи [tex]x^{-3}+1=t^3[/tex]. [tex]\Rightarrow x^{-3}=t^3-1 \Rightarrow x^3=\frac{1}{t^3-1}[/tex]. [tex]\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt[3]{t^3-1}} \Rightarrow dx=-\frac{(t^3-1)^{-\frac{4}{3}}3t^2}{3}=-(t^3-1)^{-\frac{4}{3}}t^2=-\frac{t^2}{\sqrt[3]{t^3-1}(t^3-1)}[/tex]. Още [tex]\sqrt[3]{1+x^3}=\sqrt[3]{\frac{t^3}{t^3-1}}=\frac{t}{\sqrt[3]{t^3-1}}[/tex]. Интегралът става [tex]\int{-\frac{t^2}{\sqrt[3]{t^3-1}(t^3-1)}.\frac{\sqrt[3]{t^3-1}}{t}dt=\int{-\frac{t}{t^3-1}dt}[/tex], което е интеграл на рационална функция. Имаме [tex]\frac{1}{t^3-1}=\frac{1}{(t-1)(t^2+t+1)}=\frac{1}{3}(\frac{1}{t-1}-\frac{t+2}{t^2+t+1})[/tex]. Значи идва да пресметнем [tex]-\frac{1}{3}\int{\frac{dt}{t-1}}+\frac{1}{3}\int{\frac{t+2}{t^2+t+1}dt}[/tex] [tex]\cdots[/tex].

[ganka simeonova]

получава се [tex]-\int_{}^{ } \frac{tdt}{t^3-1 }[/tex]

Провери си сметките.