Числена стойност на ред

[Davids]

Да се пресметне:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left[n\ln\left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)-1\right]$$

Имам решение (не твърде тривиално), но ми е интересно с какви идеи ще допринесат съфорумниците. Приятна задачка за мераклии.

[vezni]

Означаваме реда с $S$. За частичните суми имаме
[tex]S_n=\sum_{k=1}^n\left(k\ln\frac{2k+1}{2k-1}-1\right)=\sum_{k=1}^n\left(k\left(\ln(2k+1)-\ln(2k-1)\right)-1\right)=[/tex]
[tex]=1(\ln 3-\ln 1)-1+2(\ln 5-\ln 3)-1+3(\ln 7-\ln 5)-1+\ldots+n(\ln(2n+1)-\ln(2n-1))-1=[/tex]
[tex]=n\ln(2n+1)-n-\left(\ln 1+\ln 3+\ln 5+\ldots+\ln(2n-1)\right)=[/tex]
[tex]=n\ln(2n+1)-n-\ln(2n-1)!!=\ln(2n+1)^n-\ln e^n-\ln(2n-1)!!=\ln\frac{(2n+1)^n}{(2n-1)!!e^n}[/tex]
От формулата на Стърлинг имаме
[tex](2n-1)!!=\frac{(2n)!}{(2n)!!}=\frac{(2n)!}{2^n n!}\sim \frac{\sqrt{4\pi n}\left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}}{2^n\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}=\sqrt{2}\frac{(2n)^n}{e^n}\quad(n\to\infty)[/tex]
Следователно
[tex]\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)^n}{(2n-1)!!e^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)^n}{\sqrt{2}\frac{(2n)^n}{e^n}e^n}=\frac{1}{\sqrt{2}}\lim_{n\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}\right)^{1/2}=\frac{e^{1/2}}{\sqrt{2}}[/tex]
[tex]\Rightarrow S=\lim_{n\to\infty}S_n=\ln\frac{e^{1/2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln 2[/tex]

[Davids]

Адмирации за решението! Моето е същото. То по-хитро може би и няма.