Интеграл

[Yanik]

Здравейте трябва ми помощ с решаването на този интеграл ще съм благодарен ако може да ми покажете как се решава!
До колкото съм разбрал трябва да се използва събституция на Хорнер но не мога да намеря нищо за нея.

[Davids]

$I = \int\frac{x+3}{x^2+2x+10}dx$

$\Rightarrow 2I = \int\frac{2x+6}{x^2+2x+10}dx = \underbrace{\int\frac{2x+2}{x^2+2x+10}dx}_{=:I_1} + \underbrace{\int\frac{4}{x^2+2x+10}dx}_{=:I_2}$

Разглеждаме:

$I_1 = \int\frac{2x+2}{x^2+2x+10}dx = \int\frac{d(x^2+2x+10)}{x^2+2x+10} = ln\left|x^2+2x+10\right| + C = ln\left(x^2+2x+10\right) + C$, понеже $\forall x\in\R: x^2+2x+10 > 0$

$I_2 = 4\int\frac{1}{x^2+2x+10}dx = 4\int\frac{1}{(x+1)^2+9}dx = \frac{4}{9}\int\frac{1}{\left(\frac{x+1}{3}\right)^2 + 1}dx = \frac{4}{3}\int\frac{1}{\left(\frac{x+1}{3}\right)^2 + 1}d\left(\frac{x+1}{3}\right) = \frac{4}{3}\arctg\left(\frac{x+1}{3}\right) + C$

И понеже $2I = I_1 + I_2$, то:

$\boxed{I = \frac{1}{2}\left[ln\left(x^2+2x+10\right) + \frac{4}{3}\arctg\left(\frac{x+1}{3}\right) \right] + C}$

[Гост]

[tex]\int (x+3)/(x^2+2x+10)[/tex] -> От знаменателя: a=1,b=2,c=10
Решава се чрез полагането: x= t-(b/2a) = t-1.
Решаваш dx = d(t-1)' * dt= dt;
И получаваш: [tex]\int (t+2)/(t^2-2t+1+2t-2+10) dt[/tex]
Един съвет! Ако не ти се съкратят t на първа, значи си работил грешно!
И се получава: [tex]\int (t+2)/(t^2+9) dt[/tex]
От тук, тъй като има събиране, се разделят на два интеграла:
[tex]\int t/(t^2+9) dt[/tex] + 2[tex]\int dt/(t^2+9)[/tex] -> Изнасям двойката отпред по правилото, че щом е число, може да се изнесе като множител пред интеграла.
След това t*dt -> решаваш табличния интеграл и се получава:
1/2 [tex]\int \frac{a}{b}[/tex] + 2[tex]\int dt/(t^2+9)[/tex]
След това при dt^2 прибавящ 9, тъй като прибавянето и изваждането на числа не променят интеграла, за да стане детерминантата еднаква с аргумента.
Вече е лесно, стават таблични интеграли и става:
1/2 ln|t^2+9| + 2*1/3 arctg(t/3) + C
И вече заместваш t с x и се получава краен отговор:
1/2 ln|x^2+2x+10| +1/3 * (2arctg(x+1)/3) + C
Това е!

[Yanik]

До това t * dt го разбрах но след това се изгубих може ли малко по подробно да ми обесните от t*dt надолу моля