Тържествена граница

[Hephaestus]

Да се пресметне границата: [tex]\hspace{0.1cm} \lim_{x \to + \infty }\left( \sqrt[3]{x^{6}+9x^{5}} - \sqrt{x^{4}+6x^{3}}\right)[/tex]

[Davids]

Да се пресметне границата: [tex]\hspace{0.1cm} \lim_{x \to + \infty }\left( \sqrt[3]{x^{6}+9x^{5}} - \sqrt{x^{4}+6x^{3}}\right)[/tex]

Нека разгледаме функцията:
$f(x) = \sqrt[3]{x^{6}+9x^{5}} - \sqrt{x^{4}+6x^{3}} = x^2\left(\sqrt[3]{1 + \frac{9}{x}} - \sqrt{1 + \frac{6}{x}}\right)$

Използвайки обобщения Нютонов бином (още познат като ред на Маклорен), именно $(1+x)^q \stackrel{x\to 0}{=} \sum_{n = 0}^\infty\binom{q}{n}x^n$, получаваме:

$f(x) = x^2\left[\underbrace{\cancel{1 + \frac{1}{3}\cdot\frac{9}{x}} + \binom{\frac{1}{3}}{2}\left(\frac{9}{x}\right)^2 + o\left(\frac{1}{x^2}\right)}_{=\sqrt[3]{x^6+9x^5}} - \underbrace{\left(\cancel{1 + \frac{1}{2}\cdot\frac{6}{x}} + \binom{\frac{1}{2}}{2}\left(\frac{6}{x}\right)^2 + o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)}_{=\sqrt{x^4 + 6x^3}}\right] = 9^2\binom{\frac{1}{3}}{2} - \binom{\frac{1}{2}}{2}6^2 + o(1)$

Съобразявайки по обобщената дефиниция, че:
$\binom{\frac{1}{3}}{2} := \frac{\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{3} - 1\right)}{2} = \dots = -\frac{1}{9}$

$\binom{\frac{1}{2}}{2} := \frac{\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2} - 1\right)}{2} = \dots = -\frac{1}{8}$

Достигаме до необходимото нам компактно представяне на функцията:

$f(x) = -9 + \frac{9}{2} + o(1) = -\frac{9}{2} + o(1)$

Откъдето се вижда, че $\boxed{\lim_{x\to\infty}f(x) = -\frac{9}{2}}$

[Hephaestus]

Чудесно решение!