Неопределен интеграл

[Гост]

[tex]\int \frac{ x^{2 } }{ \sqrt{a^{2}- x^{2 } } }[/tex]dx

Моля да не се решава с тригонометрични субституции, тъй като не сме ги учили! С формулата за интегриране по части ли трябва да стане ?

[Davids]

Броим ли $\int\frac{dx} {\sqrt{1-x^2}} $ за табличен "без тригонометрични субституции" или... каква е изобщо мотивацията на питането - собствено любопитство или задание?

[Гост]

Задание…
Пробвах да го реша в интернет в различни сайтове, но ми даваше някакви субституции със синуси и косинуси, това имам предвид под тригонометрични субституции,а такива неща не сме правили. Затова се чудя как би могло да стане, дали с внясяне под знака на диференциала или формулата за интегриране по части, защото не знам какво да направя, за да го реша.

[Davids]

Ами в такъв случай, ето една идея... ако броим интеграла $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = arcsinx + C$ за табличен (макар и той да се извежда с тригонометрични субституции...):

Нека кръстим търсения интеграл $I := \int\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$.
От една страна:
$I = \int\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = -\frac{1}{2}\int\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}d(a^2 - x^2) = -\int xd\left(\sqrt{a^2-x^2}\right) \stackrel{\text{по части}}{=} -x\sqrt{a^2-x^2} + \int\sqrt{a^2-x^2}dx$

От друга страна обаче:
$I = \int\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = -\int\frac{(a^2-x^2)+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = -\int\sqrt{a^2-x^2}dx -a^2\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$

Събирайки двете представяния на интеграла, получаваме:
$2I = -x\sqrt{a^2-x^2} - a^2\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$

Е, остана съмнителната част, а именно пресмятането на останалия 'табличен' интеграл:
$\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \int\frac{dx}{а\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}} = \int\frac{d\left(\frac{x}{a}\right)}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}} = arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C$

И така:
$I = \frac{1}{2}\left[-x\sqrt{a^2-x^2} - a^2arcsin\left(\frac{x}{a}\right)\right] + C$

[Гост]

Много ви благодаря! Разбрах решението