Интеграл по части - дайте подсказка

[melanholly]

Здравейте, имам проблем с един интеграл трябва да го реша с интегриране по части ама нещо немога да се сетя коя функция да вкарам под диференциала. [tex]\int_{}^{ } x^22^xdx[/tex] пробвах с [tex]x^2[/tex] но получавам по- сложен интеграл а с [tex]2^x[/tex] незнам как да го направя. Дайте ми някакви напътствия благодаря

[L.e.o]

Вкарвай под диференцила показателната ф-я, след което по части. Степента на х ще падне на 1-ва. Правиш фокуса още 1 път и степента на х става 0 и си интегрираш просто показателната ф-я.
Краен резултат:
[tex]\frac{2^{x}}{ln2 }(x^{2} -\frac{2x}{ln2 } + \frac{2}{ ln^{2}2})[/tex]

[melanholly]

Вкарвай под диференцила показателната ф-я

е точно това не ми е ясно като я вкарам на какво става така ли изглежда интеграла [tex]\int_{}^{ } x^2 d 2^x[/tex] или нещо трябва да изнеса отпред ?

[ganka simeonova]

Първо внасяш под знака на диференциала [tex]2^x[/tex]
Taka след първото интегриране по части ще понижиш степента на х. После още едно интегриране по части и си готов

[L.e.o]

Под диференциал вкарваш чрез интегриране (това го знаеш).
int na 2^x e 2^x /ln2
След това инт. по части и:
= [tex]\frac{2^{x}}{ln2 }x^{2} - \int_{}^{ }\frac{2^{x}.dx^{2}}{ln2 } =
\frac{2^{x}}{ln2 }x^{2} - \int_{}^{ }\frac{2^{x}.2x.dx}{ln2 } =
\frac{2^{x}}{ln2 }x^{2} - \frac{2}{ ln2} \int_{}^{ }2^{x}.x.dx[/tex]
Toва е резулата от:
-вкарване на пок.ф-я по диференцияла
-интегриране по части
-изваждане на х^2 от диференциала да за имаме отново dx
Виждаш, че останалият интеграл е като началният само където степенда на x вече не 2-ра, а е 1ва
Тоест, след още 1 цъкъл на горните процедури ще получиш под интрегралната форма само показателна ф-я (степента на х ще е 0-ва), която си интегрираш директно.

Дано ти е станало ясно, защотото вкарването и изкарването на множители от диференциала и интегрирането по части са основни емтоди за решаване на голяма част от интегралите.

[ganka simeonova]

Вкарвай под диференцила показателната ф-я

е точно това не ми е ясно като я вкарам на какво става така ли изглежда интеграла [tex]\int_{}^{ } x^2 d 2^x[/tex] или нещо трябва да изнеса отпред ?

Това ми подксазва, че не знаеш осовни правила.
[tex]\int_{}^{ } x^2. 2^xdx=\frac{1}{ln2 } \int_{}^{ } x^2d2^x[/tex]

[Martin Nikovski]

Може ли да си напиша решението?
Питам, защото винаги е по-хубаво човекът сам да си реши задачата... А аз не съм много на "ти" с интегралите (все още)...

[ganka simeonova]

Естествено, че можеш
А аз ви казвам чао, до 6 септ. Заминавам на един чуден остров

[Martin Nikovski]

[tex]\int x^22^xdx=?[/tex]
Внасяме показателната функция [tex]2^x[/tex] под знака на диференциала:
[tex]2^xdx=d\frac{2^x}{ln2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\int x^22^xdx=\int x^2d\frac{2^x}{ln2 }=\frac{1}{ln2 }\int x^2d2^x[/tex]
Интегрираме по части:
[tex]\int x^22^xdx=\frac{1}{ln2}\int x^2d2^x=\frac{2^x}{ln2 }x^2-\frac{1}{ln2 } \int 2^xdx^2[/tex]
Изнасяме [tex]x^2[/tex] пред знака на диференциала:
[tex]dx^2=2xdx[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\int x^22^xdx=\frac{1}{ln2}\int x^2d2^x=\frac{2^x}{ln2 }x^2-\frac{1}{ln2}\int 2^xdx^2=\frac{2^x}{ln2 }x^2-\frac{1}{ln2}\int 2^x2xdx[/tex]
Отново внасяме [tex]2^x[/tex] под знака на диференциала:
[tex]2^xdx=d\frac{2^x}{ln2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\int x^22^xdx=\frac{2^x}{ln2 }x^2-\frac{1}{ln2}\int 2^x2xdx=\frac{2^x}{ln2 }x^2-\frac{1}{ln^22}\int 2xd2^x[/tex]
Интегрираме по части:
[tex]\int x^22^xdx=\frac{2^x}{ln2 }x^2-\frac{1}{ln^22}\int 2xd2^x =\frac{2^x}{ln2 }x^2-\left(\frac{2^x2x}{ln^22 } - \frac{1}{ln^22}\int 2^xd2x\right)=\frac{2^x}{ln2 }x^2-\frac{2^x2x}{ln^22 } + \frac{1}{ln^22}\int 2^xd2x[/tex]
Изнасяме [tex]2x[/tex] пред знака на диференциала:
[tex]d2x=2dx[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\int x^22^xdx=\frac{2^x}{ln2 }x^2-\frac{2^x2x}{ln^22 } +\frac{1}{ln^22} \int 2.2^xdx= \frac{2^x}{ln2 }x^2-\frac{2^x2x}{ln^22 } + \frac{2.2^x}{ln^32 }[/tex]
[tex]\int x^22^xdx=\frac{2^x}{ln2 }\left(x^2-\frac{2x}{ln2 }+\frac{2}{ln^22 }\right)[/tex].

П.П. Приятно изкарване, г-жо Симеонова!

[melanholly]

...не ми е ясно като я вкарам на какво става така ли изглежда интеграла [tex]\int_{}^{ } x^2 d 2^x[/tex] или нещо трябва да изнеса отпред ?

Това ми подксазва, че не знаеш осовни правила.
[tex]\int_{}^{ } x^2. 2^xdx=\frac{1}{ln2 } \int_{}^{ } x^2d2^x[/tex]

ем в момента уча за изпит така че е добре да ги науча май. сега разбрах що като вкарам x^2 под диференциала ицлиза 1/2 отпред благодаря много за разяснението