Помощ за няколко граници

[innamorata]

Здравейте!
Някой може ли да ми помогне с някои от тези граници. 4а) я нямерих, а за 2г) ми се върти в главата, че границата е макс(2,3,5), но не съм сигурна

[mkmarinov]

за 2г) си прав.
2б) се свежда към [tex]\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n=e[/tex]
2в) [tex]3+3^2+3^3+...+3^n=\frac{3^{n+1}-3}{3-1}=\frac{3^{n+1}-3}{2}[/tex]. След това делиш числителя и знаменателя на [tex]3^n[/tex].

4 г) [tex]\lim_{x \to \infty}\frac{x+sinx}{x+cosx}=\lim_{x \to \infty} \frac{1+\frac{sinx}{x}}{1+\frac{cosx}{x}}=\frac{1}{1}=1[/tex]

[Mark]

Извинявам се изобщо не съм съобразил най-вероятно заради начина, по който е записана сумата..
[tex]\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{(2i+1)(2i-1)}=\frac{1}{2}[/tex] , което се намира лесно с Лопитал

[seppen]

Mark, an е цялата сума.

[tex]\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=0.5\frac{1}{2n-1}-0.5\frac{1}{2n+1}[/tex]
Докарва се до [tex]a_n = 0.5(1-\frac{1}{2n+1})[/tex]

За б) представи tgx като sin/cos и ползвай, че cos(x)=sin(pi/2-x)=-sin(x-pi/2)

[Mark]

2б
[tex]\lim_{n\to\infty} (\frac{2n^2+3}{2n^2-3n})^n[/tex]
[tex]f(n)=(\frac{2n^2+3}{2n^2-3n})^n[/tex], [tex]lnf(n)=nln(\frac{2n^2+3}{2n^2-3n})[/tex]
[tex]\lim_{n\to\infty}lnf(n)[/tex][tex]=[/tex][tex]\lim_{n\to\infty}nln(\frac{2n^2+3}{2n^2-3n})[/tex][tex]=[/tex][tex]\lim_{n\to\infty}\frac{ln(\frac{2n^2+3}{2n^2-3n})}{\frac{1}{n}}[/tex]=[tex]\lim_{n\to\infty}-\frac{n^2(-12n^4-6n^3+54n^2-27n)}{8n^6-24n^5+30n^4-36n^3+12n^2}=\frac{3}{2}[/tex]
[tex]\lim_{n\to\infty} (\frac{2n^2+3}{2n^2-3n})^n[/tex][tex]=[/tex][tex]e^{\frac{3}{2}}[/tex]
Може и да имам грешка..

[mkmarinov]

[tex](\frac{2n^2+3}{2n^2-3n})^n=(\frac{2n^2-3n+3n+3}{2n^2-3n})^n=(1+\frac{3n+3}{2n^2-3n})^n=(1+\frac{3+\frac{3}{n}}{2n-3})^n \to (1+\frac{3}{2n})^n -> e^{\frac{3}{2}}[/tex]