Анализ 2, второ контролно, КН, 2010

[Apocalyp5e]

Ето задачите от контролното по Анализ 2 на специалност Компютърни науки в СУ от днес:

Задача 1. Да се изследват за сходимост интегралите:
а) [tex]\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^4+x}}[/tex]

б) [tex]\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{(1-p)x}}{x^q}dx[/tex]

Задача 2. Намерете областта на сходимост на [tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{n+\frac1n}}{(1+\frac1n)^n}.x^n.[/tex]

Задача 3. Да се развие като степенен ред функцията [tex]f(x)=ln(2x+\sqrt{1+2x^2})[/tex].

Задача 4. Да се намерят локалните екстремуми на функцията [tex]f(x)=e^{x^2-y}(5-2x+y)[/tex].

Задача 5. Дадена е функцията [tex]f(x)=\left\{\frac{x^2y}{x^2+y^2}, \ \ \ x^2+y^2\ne 0 \\ 0, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x^2+y^2=0\right.[/tex]. Да се докаже, че тя е непрекъсната в точка (0,0).

Имам 2 въпроса. Как се решава 3-та задача?
И за задача 5, достатъчно ли е да докажем, че съществува граница в тази точка и стойността й е равна на стоността на функцията в (0,0)?

[veliko]

За 5та можеш да постъпиш по следния начин:
[tex]\lim_{x,y\to 0} \frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} = \lim_{x,y\to 0} \frac{y}{(\frac{x}{y})^{2}+1}[/tex].
Сега в числителя имаме безкрайно малка фукнция, а понеже в знаменателя [tex](\frac{x}{y})^{2}>0[/tex] то
[tex]( \frac{x}{y})^{2}+1[/tex]или е ограничена(ако [tex](\frac{x}{y})^{2} -> C)[/tex] или безкрайно голяма. Но това означава че границата е 0 и в двата случея.

Сигурен ли си че не си сбъркал условието на 3та ?

[Apocalyp5e]

Да, сигурна съм. 2 часа я мъчих на контролното тая задача и накрая нищо...

[Гост]

За третата задача, ако под корена е [tex]1+4x^{2}[/tex], задачата има много елементарно решение.