Разлагане в степенен ред

[innamorata]

Някой може ли да помогне

[Flame]

Някой може ли да помогне

Зад. 2
[tex]f(x)=\frac{1}{ x^2-3x+2} =\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-1)}[/tex]
[tex]f(x)=\frac{-1}{x-1}+\frac{1}{(x-2)}=\frac{1}{1-x}-\frac{1}{(2-x)}[/tex]

Тук вече знаем, че [tex]\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n[/tex] и тогава:
[tex]\frac{1}{(2-x)}=\frac{1}{2}\(\frac{1}{1-\frac{x}{2}}\)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2}\(\frac{x}{2 }\)^n[/tex]
И остава да заместим:
[tex]f(x)=\frac{1}{1-x}-\frac{1}{(2-x)}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2}\(\frac{x}{2 }\)^n[/tex]
[tex]f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}x^n-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^{n+1} }=\sum_{n=0}^{\infty}\(1-2^{-(n+1)}\).x^n[/tex]

Зад. 1. Упътване.
Първо диференцираме [tex]f(x)[/tex], намираме развитието, по показания вече начин и интегрираме получения резултат. Накрая: изследваме областта на сходимост.