Интересна задача с периметър

[QTE i IF]

Дадени са параболите с уравнения y=2(x sqrt) и y=1+(x sqrt) . Пресметнете лицето и периметъра ограничена от графиките.
П.С. Ще помоля , да дадете обяснения стъпка по стъпка като за малоумни.

[b1ck0]

Първо трябва да си начертаеш графиките на двете функции: За целта пресмяташ стойностите на двете функции в определени точки и след това само свързаваш точките по подходящ начин:
[tex]\begin{tabular}{ | l | l | l | l |}
\hline
& 0 & 0.5 & 1.5 \\ \hline
y = 2 \sqrt{x} & 2 sqrt{0} = 0 & 2 \sqrt{0.5} = 1.4142 & 2 \sqrt{1.5} = 2.4495 \\ \hline
y = 1+ \sqrt{x} & 1+ \sqrt{0} = 1 & 1+ \sqrt{0.5} = 1.7071 & 1+ \sqrt{1.5} = 2.2247 \\ \hline
\end{tabular}[/tex]

Така изглежда общата картина. Вижда се че двете графики се пресичат в една точка. За да намерим абсцисата на пресечната точка е необходимо да приравним двете функции:
[tex]2 \sqrt{x} = 1+ \sqrt{x}[/tex]
[tex]2 \sqrt{x} - \sqrt{x} = 1[/tex]
[tex]\sqrt{x} = 1 \Right x = 1[/tex]
Установихме че двете криви се пресичат във все още неизвесна точка, чията абсциса е 1. За да намерим ординатата на тази точка заместваме [tex]x=1[/tex] във която и да е от двете функции:
[tex]y = 2 \sqrt{x} \Right y = 2 \sqrt{1} = 2[/tex]
Установихме че пресечната точка на двете функции е [tex]A(1,2)[/tex], за да проверим дали това е вярно ще заместим [tex]x=1[/tex] в другата функция:
[tex]y = 1+sqrt{x} \Right y = 1 + sqrt{1} = 2[/tex]. Очевидно че това е пресечната точка на двете функции.

Ще продължа с намирането на лицето, което е заградено от двете графики:
То може да се намери по доста начини. Ще дам няколко примера:
1. Може да се изрази като разлика на два определени интеграла
Нека разгледаме само зелената графика:

Интегралът: [tex]\int_{0}^{1} \left( 2sqrt{x} \right) dx[/tex] представлява защрихованата площ "под" зелената графика.
Нека сега разгледаме само червената графика:

Интегралът: [tex]\int_{0}^{1} \left( 1+ sqrt{x} \right) dx[/tex] представлява защрихованата площ "под" червената графика.
А лицето на търсената фигура е разликата между тях:
[tex]S = \int_{0}^{1} \left( 1+ sqrt{x} \right) dx - \int_{0}^{1} \left( 2sqrt{x} \right) dx = \frac{1}{3}[/tex]

2. Може да се представи като двоен интеграл:

На графиката се вижда че [tex]x \in [0;1][/tex], а [tex]y \in [2\sqrt{x};\sqrt{x}+1][/tex], тогава:
[tex]\int_{0}^{1} \int_{2\sqrt{x}}^{\sqrt{x}+1} (1) dxdy = \frac{1}{3}[/tex]

Щом и при двата метода получаваме един и същ отговор ...

[QTE i IF]

Всъшност ние сме малоумни ,защото Х е на квадрат а не коерен , за което в момента се псуваме стабилно , но нещото което ме притеснява е ,че задачата е от Анализ 1 ( функции на една променлива) , което трябва да изключи двойния интеграл. Искренно съжаляваме за грешката , ако може пак да се потрудиш и да ни образоваш ще сме много благодарни .

[b1ck0]

Опитайте сами ... просто където съм писал [tex]sqrt{x}[/tex] го заменете с [tex]x^2[/tex]

П.П: В кой университет учите?

[QTE i IF]

В СУ ФЗФ ядрена техника и ядрена енергетика съм аз , а колегата е инженерна физика.
П.С. А ако заместим със Х квадрат графиката не е ли парабола във 1ви и 2ри квадрант , което според нас трябва да намерим друго лице , проблема ни е че не знаем как да си дефинираме х и у на графиката която ние получаваме (след консултация със руски книги) , защото не прилича на парабола , при това трябва да използваме знания само от Анализ 1, при това какво ще рече да намерим периметъра (предполагам ,че има някакъв чалъм и не е толкова елементарно колкото звучи).

[b1ck0]

Криволинеен интеграл ... е чалъма

[QTE i IF]

Предполагам ,че си прав , но това е задача от изпит по анализ на функции на една променлива , а тогава не бяхме учили за криволинейни интеграли , предполага се ,че 1ви курс 1ви семестър си нямаш понятие от криволинейни интеграли , задачата трябва да се решава по друг начин ,в момента непонятен за мен. Имаш ли някаква идея как става номера само със знания от Анализ 1 (анализ на функции на една променлива) ???

[seppen]

Дължина на крива(диференцируема) и лице на фигура, между криви се смята и с определен интеграл. Така сме го правили по Анализ 2 в ПУ, защото друг вид интеграли вече няма в конспекта.
[tex]y_1 = 2 x^2 \\y_2 = x^2 + 1[/tex]

Лицето е [tex]\int _{-1} ^{1} x^2+1 - 2x^2 dx[/tex] - b1ck0 вече го е написал.
Периметърът е [tex]\int _{-1} ^{1} \sqrt{1+(2x^2)' ^2}dx + \int_{-1} ^{1} \sqrt{1+(x^2+1)' ^2}dx[/tex]
За последната формула не съм сигурна, но беше нещо такова.

Edit: А, мерси, mkmarinov. Пропуснала бях квадрата. Вече е добре.

[mkmarinov]

Формулата за дължината на f(x) от а до б:
[tex]L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}dx[/tex]

[L.e.o]

seppen,
формулите са ти грешни.

Търсената фирура се образува от: правата х=0 и 2те криви.
Приравнявайки 2те ф-ии, намира къде се пресичат: при х=1.
Тоест, за да намерим търсенето лице, трябва да интегрираме ф-иите в интервала за х от 0 до 1.
[tex]S= |\int_{0}^{ 1}(y_{1}-y_{2})dx| = |\int_{0}^{ 1}(2x^{2}-x^{2}-1)dx|[/tex]
След простата сметка: S = 2/3

Сега периметъра:
Toй е:
P = дължината на отсечката заградена от 2те криви върху правата х=0 + дължинините на двете криви заградени в интервала от х=0 до х=1.
Представете си един тънък отрязък от кривата.

Знаем, че tg a = dy/dx = y' и cos a = dx/dL.
Нас ни интересува връзката между dL и dx, защото търсим първото, а ще интегрираме по 2рото. Изразявайки cos a от tg a, намираме:
[tex]dL = \sqrt{1+(y')^{2}}dx[/tex]
А периметърът е:
[tex]P = |y_{1} - y_{1}| + \int_{0}^{1 } \sqrt{1+(y_{1}')^{2}}dx + \int_{0}^{1 } \sqrt{1+(y_{2}')^{2}}dx[/tex], което се смята доста лесно.

ПС: Съвет от един по-дърт от вас представител на фзф иф: Залягайте здраво на анализ 1 и 2, иначе анализ 3 познат като Векторен Анализ ще ви изяде главите. Ако има нещо по така във връзка с други предмети, питай на private. Ако мога, ще помогна с удоволстие на младите колеги.

[seppen]

Що намеси x=0?

[L.e.o]

Ох да. Подведох се от горните ф-ии (с корените). Извинявам се (но все пак беше изпуснат и квадрата на производните).

[b1ck0]

Що намеси x=0?

Най-вероятно е гледал моите графики ...