Насоки за решаване на интеграли от типа x^3+1

[eXtreme]

Здравейте, искам да попитам за някакви насоки при решаването на интеграли от този тип - [tex]\int_{}^{}\frac{1}{x^3+1}dx[/tex]
Като добавя и извадя в числителя [tex]x^3-x^3[/tex] свеждам до интеграла [tex]\int_{}^{ }\frac{1}{\frac{1}{x^3} +1}dx[/tex], който също ми се опъва. Другото нещо за което се сетих е разлагане на знаменателя в [tex](x+1)(x^2-x+1)[/tex].
Предполагам решението става чрез подходящо полагане, но не можах да го измисля. Пробвах с [tex]t=x^3+1[/tex] и после вкарване под диференциала и интегриране по части, но пак ударих на дърво с нерешим за мен интеграл.


Поздрави,
eXtreme

[seppen]

Здравей.
След като си разложил знаменателя, може да ползваш МНК, за да представиш дробта като [tex]\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}[/tex].

[eXtreme]

Благодаря, успях да го реша.
Получава ми се следната картинка: [tex]\int_{}^{}\frac{1}{x+1}dx + 2\int_{}^{}\frac{1}{x^2-x+1}dx - \int_{}^{}\frac{x}{x^2-x+1}dx[/tex].
Първите два са таблични и са ясни. Третия се решава с полагане [tex]x=t+\frac{1}{2}[/tex] и в крайна сметка се получава следното [tex]\int_{}^{}\frac{t}{t^2+\frac{3}{4}}dt + \int_{}^{}\frac{\frac{1}{2}}{t^2+\frac{3}{4}}dt[/tex]. Втория е видимо табличен, а първия също след вкарване на [tex]t[/tex] под диференциала.

Крайния отговор е
[tex]ln|x+1| + 2arctg(t-\frac{1}{2}) - \frac{1}{2}ln|x^2-x+a| + \frac{1}{\sqrt[]{3}}arctg(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C[/tex] (надявам се )

[L.e.o]

Краен отговор на задача с интеграли винаги можеш да си го провериш като го диференцираш и сравнявайки отговора с първоначалната задача.