Неравенство, непрекъсната функция

[seppen]

Да се докаже:

[tex]\(\int _0 ^1 \frac{dx}{f(x)}\)\(\int _0 ^1 f(x) dx \)\le\frac{(m+M)^2}{4mM}[/tex]

Където f(x) е непрекъсната в [0;1].
[tex]\normal 0<m\le f(x) \le M[/tex]

Лявата страна е по-малка от M/m, но това не ми помага. Може би трябва да се направи нещо отдясно?
Идеи?

[martin123456]

И двете ф-ции са интегруеми. Разделяме интервала [tex][0,1][/tex] на [tex]n[/tex] части с дължина [tex]\frac{1}{n}[/tex] с точките [tex]x_0,x_1,\ldots, x_n[/tex]. Разглеждаме Римановите суми [tex]\sigma_1=\sum_{i=1}^{n}f(\x_i)(x_i-x_{i-1})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\x_i)[/tex] и [tex]\sigma_2=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{f(\x_i)}(x_i-x_{i-1})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{f(\x_i)}[/tex]. Имаме [tex]\lim_{n \rightarrow \infty}\sigma_1=\int_{0}^{1}f(x)dx[/tex] и [tex]\lim_{n \rightarrow \infty}\sigma_2=\int_{0}^{1}\frac{1}{f(x)}dx[/tex].
Дясната страна на неравенството става [tex]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\x_i).\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{f(\x_i)}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}f(\x_i)\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{f(\x_i)}[/tex]. Полагаме [tex]x_i=f(\x_i) \in [m, M][/tex]. Неравенството е [tex]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}x_i\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i} \le \frac{(m+M)^2}{4mM}[/tex]. Oчевидно (от 'геометричната ' интерпретация на интеграл с лице под крива) имаме [tex]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}x_i\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i} \le \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}x_i\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}[/tex]. Сега как се доказва последното неравенство: [tex]\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}x_i\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i} \le \frac{(m+M)^2}{4mM}[/tex] можеш да видиш на следния адрес viewtopic.php?f=10&t=770.

[seppen]

Благодаря много, мисля че разбрах по-голямата част.
Ето тази част все още не ми е очевидна, може би трябва пак да си прегледам лекциите.

[tex]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}x_i\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i} \le \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}x_i\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}[/tex]

Това е лицето на някаква фигура, но откъде знаем, че е по-голямо от лицето под кривата.
[tex]\lim \sum f (\xi _i) \Delta x_i \le \sum f(\xi_i)\Delta x_i[/tex]. Защо това да е вярно? Някаква теорема ли е?

[martin123456]

Здрасти,
Не е теорема. Аз си го измислих и се оправдах по следния наивен начин (иначе не знам как да го докажа точно).
Става дума като се разгледа графиката на ф-цията f(x) в интервала [0,1]. Тази графика е изцяло НАД абсцисата. Границата е все едно да строиш безкрайно много правоъгълници под графиката на функцията и да сумираш лицата им, докато интегралът е точното лице. Затова е вярно неравенството точно за ф-цията в условието ти.

[mkmarinov]

Не трябва ли тогава неравенството да е наобратно?
Правоъгълниците под графиката никога не я запълват, освен в "граничният" случай [tex]n \to \infty[/tex] (което си е интегралът).

[martin123456]

Всъщност това с неравенството е голяма глупсот, което съм написал, сега като го погледна - от едната страна стои граница, а от другата е число n.

И двете ф-ции са интегруеми. Разделяме интервала [tex][0,1][/tex] на [tex]n[/tex] части с дължина [tex]\frac{1}{n}[/tex] с точките [tex]x_0,x_1,\ldots, x_n[/tex]. Разглеждаме Римановите суми [tex]\sigma_1=\sum_{i=1}^{n}f(\x_i)(x_i-x_{i-1})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\x_i)[/tex] и [tex]\sigma_2=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{f(\x_i)}(x_i-x_{i-1})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{f(\x_i)}[/tex]. Имаме [tex]\lim_{n \rightarrow \infty}\sigma_1=\int_{0}^{1}f(x)dx[/tex] и [tex]\lim_{n \rightarrow \infty}\sigma_2=\int_{0}^{1}\frac{1}{f(x)}dx[/tex].
Дясната страна на неравенството става [tex]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\x_i).\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{f(\x_i)}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}f(\x_i)\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{f(\x_i)}[/tex]. Полагаме [tex]x_i=f(\x_i) \in [m, M][/tex]. Неравенството е [tex]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}x_i\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i} \le \frac{(m+M)^2}{4mM}[/tex].

Като погледна неравенството на адрес viewtopic.php?f=10&t=770 виждам, че няма никакъв проблем да му сложим един лимес и то да е вярно. Така че това стига.

[seppen]

Това вече е друго нещо.