интеграл с тригонометрични функции

[deadflesh]

[tex]\int_{0}^{ \frac{\pi }{2 } } \frac{dx}{2sinx+cosx }[/tex] малко помощ стига донякъде и не мога да продължа нататък

[stflyfisher]

[tex]\int_{0}^{ \frac{\pi }{2 } } \frac{dx}{2sinx+cosx }[/tex] малко помощ стига донякъде и не мога да продължа нататък

Покажи до къде стигаш. Така на пръв поглед "универсалната" субституция не върши ли работа?

[Anubis]

[tex]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} {\frac{1}{2 sin x + cos x }} \operatorname{d}x[/tex]

Ние знаем, че са изпълнени равенствата [tex]sin x = \frac{2 \tan {\frac{x}{2}}}{1 + \tan ^2 {\frac{x}{2}}}, \, cos x = \frac{1 - \tan ^2 {\frac{x}{2}}}{1 + \tan ^ 2 {\frac{x}{2}}}[/tex].

Затова полагаме [tex]\tan {\frac{x}{2}} = t \Rightarrow sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \, cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}[/tex].

Но [tex]\tan {\frac{x}{2}} = t \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \arctan t \Leftrightarrow x = 2 \arctan t \Rightarrow \operatorname{d}x = \operatorname{d} \left ( 2 \arctan t \right ) \Leftrightarrow \operatorname{d}x = \frac{2 \operatorname{d}t}{1+t^2}[/tex].

Остана да определим границите, в които се изменя новата променлива:

— [tex]x = 0 \Leftrightarrow t = \tan 0 \Leftrightarrow t = 0[/tex];

— [tex]x = \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow t = \tan {\frac{\pi}{4}} \Leftrightarrow t = 1[/tex].

Подинтегралната функция ще бъде [tex]\frac{1}{2 sin x + cos x} = \frac{1}{2\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}} = \frac{1+t^2}{-t^2+4t+1}[/tex].

Интегралът, който трябва да решим, е

[tex]\int_{0}^{1} \frac{1+t^2}{-t^2+4t+1}.\frac{2 \operatorname{d}t}{1+t^2} = \int_{0}^{1} \frac{2 \operatorname{d}t}{-t^2+4t+1} = -2 \int_{0}^{1} \frac{\operatorname{d}t}{t^2-4t-1} = -2 \int_{0}^{1} \frac{\operatorname{d} (t-2)}{(t-2)^2-5}[/tex].

Последното е интеграл от вида [tex]\int \frac{\operatorname{d}u}{u^2-a^2}[/tex], който е равен на [tex]\frac{1}{2a} \left ( \ln {\left | u-a \right |} - \ln {\left | u+a \right |}\right )[/tex]. В нашия случай [tex]u = t - 2[/tex] и [tex]a = \sqrt{5}[/tex]. Тогава [tex]-2\int_{0}^{1}\frac{\operatorname{d}(t-2)}{(t-2)^2-5} = -2.\frac{1}{2\sqrt{5}} \left ( \ln {\left | t-2-\sqrt{5} \right |} - \ln {\left | t-2+\sqrt{5} \right |} \right ) = -\frac{1}{\sqrt{5}} \left ( \ln {\left | t-2-\sqrt{5} \right |} - \ln {\left | t-2+\sqrt{5} \right |} \right )[/tex].

Сега само прилагаме формулата за изчисляване на определени интеграли.

[mkmarinov]

На пръв поглед, [tex]2sinx+cosx=\sqrt{5}(\frac{2}{\sqrt{5}}sinx+\frac{1}{\sqrt{5}}cosx)=\sqrt{5}sin(x+\alpha)[/tex], където алфа блабла...
И се получава [tex]\sqrt{5}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{sin(x+\alpha)}dx=\sqrt{5}\int_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}+\alpha}\frac{dt}{sint}[/tex], който ми изглежда странно табличен.

[deadflesh]

[tex]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} {\frac{1}{2 sin x + cos x }} \operatorname{d}x[/tex]

Ние знаем, че са изпълнени равенствата [tex]sin x = \frac{2 \tan {\frac{x}{2}}}{1 + \tan ^2 {\frac{x}{2}}}, \, cos x = \frac{1 - \tan ^2 {\frac{x}{2}}}{1 + \tan ^ 2 {\frac{x}{2}}}[/tex].

Затова полагаме [tex]\tan {\frac{x}{2}} = t \Rightarrow sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \, cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}[/tex].

Но [tex]\tan {\frac{x}{2}} = t \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \arctan t \Leftrightarrow x = 2 \arctan t \Rightarrow \operatorname{d}x = \operatorname{d} \left ( 2 \arctan t \right ) \Leftrightarrow \operatorname{d}x = \frac{2 \operatorname{d}t}{1+t^2}[/tex].

Остана да определим границите, в които се изменя новата променлива:

— [tex]x = 0 \Leftrightarrow t = \tan 0 \Leftrightarrow t = 0[/tex];

— [tex]x = \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow t = \tan {\frac{\pi}{4}} \Leftrightarrow t = 1[/tex].

Подинтегралната функция ще бъде [tex]\frac{1}{2 sin x + cos x} = \frac{1}{2\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}} = \frac{1+t^2}{-t^2+4t+1}[/tex].

Интегралът, който трябва да решим, е

[tex]\int_{0}^{1} \frac{1+t^2}{-t^2+4t+1}.\frac{2 \operatorname{d}t}{1+t^2} = \int_{0}^{1} \frac{2 \operatorname{d}t}{-t^2+4t+1} = -2 \int_{0}^{1} \frac{\operatorname{d}t}{t^2-4t-1} = -2 \int_{0}^{1} \frac{\operatorname{d} (t-2)}{(t-2)^2-5}[/tex].

Последното е интеграл от вида [tex]\int \frac{\operatorname{d}u}{u^2-a^2}[/tex], който е равен на [tex]\frac{1}{2a} \left ( \ln {\left | u-a \right |} - \ln {\left | u+a \right |}\right )[/tex]. В нашия случай [tex]u = t - 2[/tex] и [tex]a = \sqrt{5}[/tex]. Тогава [tex]-2\int_{0}^{1}\frac{\operatorname{d}(t-2)}{(t-2)^2-5} = -2.\frac{1}{2\sqrt{5}} \left ( \ln {\left | t-2-\sqrt{5} \right |} - \ln {\left | t-2+\sqrt{5} \right |} \right ) = -\frac{1}{\sqrt{5}} \left ( \ln {\left | t-2-\sqrt{5} \right |} - \ln {\left | t-2+\sqrt{5} \right |} \right )[/tex].

Сега само прилагаме формулата за изчисляване на определени интеграли.

аз бях стигнал до там ,където получавам [tex]t^{2}-4t-1[/tex], но имам въпрос [tex]u^{2}- a^{2}[/tex] това табличен интеграл ли е понеже аз не съм го срещал

[L.e.o]

Табличен е.
http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0% ... 0%B8%D0%B8