Домашно по дис

[Гост]

IMG_6450.png (931.39 KiB) Прегледано 1727 пъти

[grav]

Нали не очакваш някой просто да ти реши задачите от домашното!

Кажи какво си пробвал, до къде си стигнал, какво не си успял,... И ще ти дадем упътвания, но работата трябва да я свършиш ти.

[Гост]

Интересува ме 4 задача.

[grav]

Интересува ме 4 задача.

Тя има упътване, до къде си стигнал?

[Гост]

Не мога да я реша.Доста ме затрудява!

[ammornil]

Предлагам Ви следното решение, но не гарантирам че е 100% вярно, интегралното смятане ми е малко далечна материя.
[tex]\begin{array}{llll} m_{0} = const, [kg] \\ v_{0}=0, [m/s] \\ g=const, [m/s^{2}] \\ F_{0}=const, [N] \\ & m(t)=m_{0}-k\cdot{t}, [kg] \\ & F(t) = a\cdot{m(t)}, [N]\\ & G(t)=g\cdot{m(t)}, [N] \\ & F_{0} = G(t) + F(t), [N] \\ & a(t)=\frac{\normalsize{F_{0}-g\cdot{m(t)}}}{\normalsize{m(t)}}, [m/s^{2}] \\ & v(t)=\int{a(t)dt}, [m/s] \\ & h(t)=\int{v(t)dt}, [m] \end{array} \\[/tex]Вижда се, че с нарастване на времето ще имаме намаляване на масата на ракетата, оттам ще намалява силата на тежестта, и понеже силата на двигателя е константа, ускорението на ракетата ще нараства във времето, за инервала от време, в което двигателят поддържа постоянна изтласкваща сила.[tex]\\ \begin{array}{llcl} & a(t)=\frac{\normalsize{F_{0}}}{\normalsize{m_{0}-k\cdot{t}}}-g & \Rightarrow & v(t)=\int{a(t)dt}=\normalsize{F_{0}}\cdot{}\int{\frac{\normalsize{dt}}{\normalsize{m_{0}-k\cdot{t}}}}-\int{gdt} \\ &&&v(t)=-\frac{\normalsize{F_{0}}}{\normalsize{k}}\cdot{}\int{\frac{\normalsize{d(m_{0}-k\cdot{t})}}{\normalsize{m_{0}-k\cdot{t}}}}-\int{gdt} \\ &&& v(t)=-\frac{\normalsize{F_{0}}}{\normalsize{k}}\cdot{\ln{|m_{0}-k\cdot{t}|}}-g\cdot{t} +C_{v} \end{array}\\ \quad[/tex] *резултантната константа от интегрирането е равна на нула, защото това е началната скорост.[tex]\\ \begin{array}{llcl} & v(t)=-\frac{\normalsize{F_{0}}}{\normalsize{k}}\cdot{\ln{|m_{0}-k\cdot{t}|}}-g\cdot{t} & \Rightarrow & h(t)=\int{v(t)dt}=-\frac{\normalsize{F_{0}}}{\normalsize{k}}\cdot{}\int{\ln{|m_{0}-k\cdot{t}|dt}}-g\cdot{}\int{tdt}\\ & m_{0}-k\cdot{t}>0 &\Rightarrow& h(t)=-\frac{\normalsize{F_{0}}}{\normalsize{k}}\cdot{\int{\ln{(m_{0}-k\cdot{t})}}dt}-g\cdot{}\int{tdt} \\ &&& h(t)= \frac{\normalsize{F_{0}}}{\normalsize{k^{2}}}\cdot{\int{\ln{(m_{0}-k\cdot{t})}}d(m_{0}-k\cdot{t})}-g\cdot{}\int{tdt} \\ &&& h(t) = \frac{\normalsize{F_{0}}}{\normalsize{k^{2}}}\cdot{(m_{0}-k\cdot{t})\cdot{[\ln{(m_{0}-k\cdot{t})}}-1]}-\frac{\normalsize{1}}{\normalsize{2}}\cdot{g}\cdot{t^{2}}+C_{h}\\ \end{array}\\ \quad[/tex]*резултантната константа от интегрирането е равна на нула, ако се търси височината над котата на стартовата площадка, но в общият случай за височина над морското равнище, константата е равна на надморската височина на равнината на стартовата площадка. $$ h(t) = \frac{\normalsize{F_{0}}}{\normalsize{k^{2}}}\cdot{(m_{0}-k\cdot{t})\cdot{[\ln{(m_{0}-k\cdot{t})}}-1]}-\frac{\normalsize{1}}{\normalsize{2}}\cdot{g}\cdot{t^{2}}+h_{0} $$

Скрит текст: покажи

[tex]\int{ln(u)du}=u\ln{u}-\int{ud\ln(u)}=u\ln{u}-\int{}u\cdot{\frac{1}{u}}du=u\ln{u}-u+C \\ u=m_{0}-kx \rightarrow \int{\ln{(m_{0}-kx)}d(m_{0}-kx)}=(m_{0}-kx)\ln{(m_{0}-kx)}-(m_{0}-kx)+C=(m_{0}-kx)[\ln(m_{0}-kx)-1]+C[/tex]

[peyo]

IMG_6450.png

4.

Това е интересно.

$h = v t$
$h'=v't + v t'$
$h' = a t + v_0 = a t $



$m(t) = m_0-k t$

$F(t)= F_0 - (m_0-k t) g$

$F(t)= (m_0-k t) h'/t$

$F_0 - (m_0-k t) g= (m_0-k t) h'/t$

$h' = t F_0/(m_0-k t) - gt$

$d h = F_0 \frac{t }{m_0-k t} dt - gt dt$

$ h = \int\limits_{0}^{t}(F_0 \frac{t }{m_0-k t} - gt) dt$

In [34]: var("F_0,m_0,t,k,g")
Out[34]: (F_0, m_0, t, k, g)

In [49]: print(latex(integrate(F_0*(t/(m_0-k*t)) - g*t,(t,0,t))))

$h(t)=- \frac{F_{0} t}{k} + \frac{F_{0} m_{0} \log{\left(- m_{0} \right)}}{k^{2}} - \frac{F_{0} m_{0} \log{\left(k t - m_{0} \right)}}{k^{2}} - \frac{g t^{2}}{2}$

Странно наистина, но това трябва да дава реални положителни числа от 0 до някой момент.

[ammornil]

Да, интегрирането за височината съм го объркал...
[tex]h(t)=-\frac{F_{0}}{k}\cdot{\ln{(m_{0}-k\cdot{t})}}\cdot{t}+\frac{F_{0}}{k}\cdot{t}+\frac{F_{0}\cdot{m_{0}}}{k^{2}}\cdot{\ln{(m_{0}-k\cdot{t})}}-\frac{1}{2}\cdot{g}\cdot{t^{2}}[/tex]

Скрит текст: покажи

[tex]Python[/tex] интргрирано, не ме питайте как е получено
[tex]\\[/tex]

Screenshot 2024-03-14 154049.png (31.16 KiB) Прегледано 1699 пъти

[pipi langstrump]

*резултантната константа от интегрирането е равна на нула, защото това е началната скорост.

Провери пак.
И за височината също.

П.П. Мисля че се казва "интеграционна" константа.

[peyo]

In [49]: print(latex(integrate(F_0*(t/(m_0-k*t)) - g*t,(t,0,t))))

$h(t)=- \frac{F_{0} t}{k} + \frac{F_{0} m_{0} \log{\left(- m_{0} \right)}}{k^{2}} - \frac{F_{0} m_{0} \log{\left(k t - m_{0} \right)}}{k^{2}} - \frac{g t^{2}}{2}$

Странно наистина, но това трябва да дава реални положителни числа от 0 до някой момент.

Да проверим дали наистина това дава очаквана графика!?

Нека ракетата да тежи 100 кг. $F_0$ трябва да е по-голяма от 100*9.81 = 980 N, да вземем 1050 N, а константата $k$ да е 1, така ракетата ще се самоизяде за 100 секунди. Да проверим графиката от 0 до 200 секунди:

In [72]: h = integrate(F_0*(t/(m_0-k*t)) - g*t,(t,0,t))

In [77]: print(latex(h.subs({m_0: 100, F_0: 1050, k: 1, g: 9.81})))

$- 4.905 t^{2} - 1050 t - 105000 \log{\left(t - 100 \right)} + 105000 \log{\left(100 \right)} + 105000 i \pi$

In [73]: plot(h.subs({m_0: 100, F_0: 1050, k: 1, g: 9.81}), (t,0,200))
Out[73]: <sympy.plotting.plot.Plot at 0x18036ac87d0>

Figure_rocket.png (19.58 KiB) Прегледано 1671 пъти

Изглежда сякаш много добре. Първо тази формула дава реални числа въпреки, че има имагинерен компонент. В началото височината расте много бавно, но с намалаването на тежестта расте много бързо. След 100 секунди няма графика, защото масата на ракетата е паднала под нулата. В 100 секунди графиката върви към безкрайност, защото масата клони към 0.