Един интеграл, който ме мъчи.

[ydrax]

Ако може някой да провери дали правилно съм го решил и ако не съм, то тогава как се решава?
Ето го интеграла:
[tex]\int_{}^{}\frac{du}{1+u^{2}}[/tex]

което много ми прилича на табличен, само, че от долу трябва да е с минус. За да го направя с минус правя следното полагане: [tex]t = \frac{u}{i}[/tex] и [tex]dt = \frac{1}{i}du[/tex] (незнам дали мога така да положа )

от където : [tex]i\int_{}^{}\frac{dt}{\sqrt{1+i^{2}t^{2}}} = i\int_{}^{}\frac{dt}{\sqrt{1 - t^{2}}} = i.arcsint + C = i.arcsin(\frac{u}{i}) + C[/tex]
Ама нещо отговора ме съмнява да е така...

[ganka simeonova]

Това си е чист табличен интеграл:)
[tex]\int_{}^{ } \frac{1}{1+u^2 } du=arctgu+C[/tex]

[Добромир Глухаров]

Ако интегралът е:

[tex]\int_{}^{ } \frac{du}{\sqrt{1+u^2} }[/tex] ,

то опитай да положиш [tex]1+\frac{1}{u^2}=t^2[/tex].

Аз получавам в крайна сметка:

[tex]\int_{}^{ } \frac{du}{\sqrt{1+u^2} }=ln\sqrt{\frac{\sqrt{u^2+1}+u}{\sqrt{u^2+1}-u}}+C[/tex],

но може и да съм сбъркал някъде .

[b1ck0]

Това си е чист табличен интеграл:)
[tex]\int_{}^{ } \frac{1}{1+u^2 } du=arctgu+C[/tex]

Напълно вярно ...

П.П: [tex]\int_{}^{ } \frac{du}{\sqrt{1+u^2} } = arcsinh(u)[/tex]

[Добромир Глухаров]

Всъщност на това, което съм получил, остава да се рационализира знаменателят и ще се получи точно изразът за [tex]argsh(u)[/tex].

[mkmarinov]

А това, което той е получил, не е ли пак същата функция?

[Добромир Глухаров]

А това, което той е получил, не е ли пак същата функция?

Същата е. Означението [tex]argsh[/tex] ми е познато от един учебник по анализ от 70-те.

@ydrax: [tex]arcsin(z)=\frac{1}{i}ln(iz\pm\sqrt{1-z^2}) \ \Rightarrow \ i.arcsin\(\frac{u}{i}\)=ln(u\pm\sqrt{1+u^2})[/tex]

Значи отговорът ти е верен (смущава ме само това [tex]\pm[/tex] , не трябва ли да е само [tex]+[/tex] ?).

П.П. О, да, сетих се - ако разглеждаме само реални числа, аргументът на [tex]ln[/tex] трябва да е положителен - затова пишем само [tex]+[/tex].

[ydrax]

Извинявам се, но съм объркал малко интеграла, като съм забравил да сложа корена в знаменателя, както правилно е предположил Добромир Глухаров: [tex]\int_{}^{}\frac{du}{\sqrt{1+u^{2}}}[/tex]

Благодаря на всички за отговорите и помощта. Значи се оказа все пак, че решението ми не е грешно.
Аз обаче се опитах да реша интеграла по другия начин, с полагането, което е предложил Добромир Глухаров, но след като два пъти не ми се получи, си намерих грешката и се оказа, че неправилно съм диференцирал уравнението [tex]1 + \frac{1}{u^{2}} = t^{2}[/tex], за да намеря dt на какво е равно. Тук малкко зациклих и се чудя дали трябва първо да коренувам или... Нещо не се сещам как трябва да стане.

[Добромир Глухаров]

Всъщност на теб ти трябва да изразиш [tex]du[/tex] чрез [tex]t[/tex] и [tex]dt[/tex] .

[tex]1+\frac{1}{u^2}=t^2[/tex]

[tex]u^2=\frac{1}{t^2-1}[/tex]

[tex]u=(t^2-1)^{-\frac{1}{2}}[/tex]

[tex]du=-\frac{1}{2}(t^2-1)^{-\frac{3}{2}}.2t.dt[/tex]

Нататък заместваш [tex]u^2[/tex] и [tex]du[/tex] в интеграла и решаваш, а после заменяш [tex]t[/tex] с [tex]\sqrt{1+\frac{1}{u^2}}[/tex] .

[ydrax]

Ясно, сега вече разбрах как става. Мерси много за разяснението