Да се пресметне лицевият интеграл от първи род

[toreador]

Да се пресметне лицевият интеграл от първи род

∫∫(x+ІxІ+z)dF.

Интеграла трябва да се пресметне върху частта от цилиндъра x² + y² = R², заключена между равнините z=0 и z=a

[L.e.o]

F = aR(a+2R) ?

[Flame]

Да се пресметне лицевият интеграл от първи род
∫∫(x+ІxІ+z)dF. Интеграла трябва да се пресметне върху частта от цилиндъра x² + y² = R², заключена между равнините z=0 и z=a

Ще пресметнем интегралът по следния начин:
[tex]\int_{D}^{ } \int_{}^{ } x+|x|+zdf=\int_{D}^{ } \int_{}^{ }(x(u,v)-|x(u,v)|+z(u,v))||r'_u\times r'_v||dudv[/tex]
За целта ни е необходимо параметризиране на цилиндъра (търсим решение на интеграла върху въшната му повърхнина).

[tex]x=R \cos{u}[/tex]
[tex]y=R \sin{u}[/tex]
[tex]z=v[/tex]

Сега идва момента да извадим векторите [tex]r_u[/tex] и [tex]r_v[/tex].
[tex]r(x(u,v),y(u,v),z(u,v))=r(R \cos{u},r \sin{u},v)[/tex]
Tърсим:
[tex]r'_u=(-R \sin{u},R cos{u},0)[/tex]
[tex]r'_v=(0,0,1)[/tex]
[tex]r'_u\times r'_v=(-R \sin{u},R cos{u},0)\times(0,0,1)=(R \cos{u},R \sin{u},0)[/tex]
Търсим и нормата:
[tex]||r'_u\times r'_v||=\sqrt{(R \cos{u})^2+(R \sin{u})^2+0^2}=R[/tex]

Време е за интеграла:
Интегралът разделеме на две, защото за отрицателни х той има различна аналитика от положителните.

[tex]I=I_1+I_2[/tex]

Областите за интегриране са:

За [tex]I_1[/tex]

[tex]-\frac{\pi}{2} \le u\le \frac{\pi}{2}[/tex]
[tex]0\le v\le a[/tex]

За [tex]I_2[/tex]

[tex]\frac{\pi}{2} \le u\le -\frac{\pi}{2}[/tex]
[tex]0\le v\le a[/tex]

[tex]I=\int_{0}^{a } \int_{-\frac{\pi }{ 2} }^{\frac{\pi }{2 } }(2x+z)Rdudv+\int_{0}^{ a} \int_{\frac{\pi }{ 2} }^{-\frac{\pi }{2 } }(x-x+z)Rdudv[/tex]

[tex]I=\int_{0}^{a } \int_{-\frac{\pi }{ 2} }^{\frac{\pi }{2 } }(2R \cos{u}+v)Rdudv+ \int_{0}^{a } \int_{\frac{\pi }{ 2} }^{-\frac{\pi }{2 } }vRdudv=...=4.a.R^2[/tex]