Доказателство чрез математическа индукция

[studentT]

Здравейте . Радвам се, че вече и аз съм част от вашата общност. С първия си пост искам да попитам за доказателството на едно неравенство:
[tex]\frac{1}{ n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24 }[/tex] Трябва да се докаже, че сборът на дроби с четен знаменател е по-голям от 13/24. Проверявам за n=1 и виждам, че 1/2 < 13/24 не отговаря на условието. Вземам n=2 и правя проверка: [tex]\frac{1}{ 2} + \frac{1}{4} > \frac{13}{24 }[/tex] => вярно е. Правя твърдението, че [tex]\frac{1}{ n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24 }[/tex] е вярно за всяко [tex]n\ge 2[/tex]. Сега след като имам верността за n, трябва да го докажа, че е вярно за n+1, за индуктивната стъпка и да заключа, че е вярно за всяко n. [tex]\frac{1}{ n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n} + \frac{1}{2(n+1)} > \frac{13}{24 }[/tex]. Приемам, че [tex]\frac{1}{ n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n} = P_{1}[/tex] От базата знам, че [tex]P_{1} > 13/24[/tex]. Замествам:
[tex]P_{1} + \frac{1}{2(n+1)} > \frac{13}{24 }[/tex]
[tex]P_{1} > \frac{13}{24} - \frac{1}{2(n+1)}[/tex]
[tex]\frac{13}{24} > \frac{13}{24} - \frac{1}{2(n+1)}[/tex]
[tex]P_{1} > \frac{13}{24} > \frac{13}{24} - {1}{2(n+1)}[/tex] => е вярно за всяко [tex]n\ge 2[/tex] Така, както е написано, приема ли се за доказано или бъркам някъде в доказателството? Благодаря предварително за отговорите

[seppen]

[tex]P_1[/tex] > нещо и като добавяш положителни числа към [tex]P_1[/tex], няма как да намалее. Но не си написал правилно самото условие, вапреки, че правилно решаваш.
[tex]\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2(n-1)}+\frac{1}{2n} > \frac{13}{24}[/tex]
Това са четни знаменатели.

[allier]

StudentT, бъркаш при прехода от n към n+1. Първият член вече го няма в новата сума.

[studentT]

Ако заместя на мястото на n с n+1 първият член няма ли да е [tex]\frac{1}{n+2 }[/tex], което е нечетно.

[allier]

Напиши точно неравенството, което искаш да докажеш и ще ти отговоря на въпроса. Ти си написал едно неравентство в първия си пост, в което има както четни, така и нечетни знаменатели.

[studentT]

Неравенството, което имам по условие е: [tex]\frac{1}{ n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24 }[/tex] Сега като се замисля май съм тръгнал като цяло по грешен път.

[studentT]

Тръгнах по друга логика. Представям си, че имам една аритметична прогресия, за която знам [tex]a_{1} = \frac{1}{ n+1}[/tex], а за [tex]a_{n} = \frac{1}{2n}[/tex]. Смятам по формулата за сума: [tex]S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} * n[/tex] и получавам [tex]\frac{3n + 1}{4(n+1)} > \frac{13}{ 24}[/tex], което е равно на [tex]\frac{3n + 1}{n+1} > \frac{13}{ 6}[/tex],което е вярно за [tex]n\ge 2[/tex]. Имам вече база и след това замествам вместо n с n+1. [tex]\frac{3n+4}{4n+8} > \frac{13}{ 24}[/tex], което е равно на [tex]\frac{3n+4}{4(n+2)} > \frac{13}{ 24}[/tex] => [tex]\frac{3n+4}{n+2} > \frac{13}{ 6}[/tex]

[tex]\frac{3n+4}{n+2} - \frac{13}{ 6} > 0[/tex] Общ знаменател.

[tex]\frac{6(3n+4) - 13(n+2)}{6(n+2)} > 0[/tex]

[tex]\frac{18n + 24 - 13n - 26}{6(n+2)} > 0[/tex]

[tex]\frac{5n - 2}{6(n+2)} > 0[/tex], което за [tex]n\ge2[/tex] е изпълнено => е вярно и за n+1 формулата.
От тук може ли да се приеме, че е доказано?

[allier]

Не, първата логика ти беше далеч по-вярна. По индукция за оригиналното неравенство - просто махни тия работи за четно и нечетно, които си писал.

Допускането е, че: [tex]\frac{1}{n+1 }+...+\frac{1}{2n } > \frac{13}{24 }[/tex]. За n+1 това изглежда така, [tex]\frac{1}{n+2 }+...+\frac{1}{2n+2 } = \frac{1}{n+1 }+...+\frac{1}{2n } + (\frac{1}{2n+1 } + \frac{1}{2n+2 } - \frac{1}{n+1 }) > \frac{13}{24 } + \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} > \frac{13}{24 }[/tex], като приведеш под общ знаменател.

[ptj]

1.)За n=2 : [tex]S_2=\frac{1}{ 3}+\frac{1}{ 4}=\frac{7}{ 12}>\frac{13}{ 24}[/tex]

2.)Нека условието на задачата е вярно за n=k , т.е. [tex]S_k=\frac{1}{ k+1} + \frac{1}{k+2} + ... + \frac{1}{2k}[/tex]

3.)За n=k+1 :
[tex]S_{k+1}=\frac{1}{ (k+1)+1} + \frac{1}{(k+1)+2} + ... + \frac{1}{2(k+1)}[/tex]

[tex]S_{k+1}-S_k=(\frac{1}{ 2k+1 } +\frac{1}{ 2k+2 }) - \frac{1}{ k+1 }=[/tex]
[tex](\frac{1}{ 2k+1 } +\frac{1}{ 2k+2 }) - \frac{2}{ 2k+2 }=\frac{1}{ 2k+1 }-\frac{1}{ 2k+2 }=\frac{(2k+2)-(2k+1)}{ (2k+1)(2k+2) }=\frac{1}{ (2k+1)(2k+2) }>0[/tex]

От последното следва, че [tex]S_{k+1}>S_k[/tex], но съгласно 2.) [tex]S_k>\frac{13}{ 24}[/tex], т.е. [tex]S_{k+1}>\frac{13}{ 24}[/tex].


От 1.), 2.) и 3.) използвайки метода на ПМО следва, че [tex]\forall n\ge 2, ( n \in N) : S_n=\frac{1}{ n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n}>\frac{13}{24 }[/tex].

[studentT]

Благодаря за подробното обяснение - сега го разбрах . Имам само още един въпрос по-горното, което съм го разписал с прогресия грешно ли е и ако е грешно защо?

[Martin Nikovski]

Просто редицата не е аритметична прогресия...
[tex]\frac{1}{n+1 } ,\ \frac{1}{n+2 },\ \frac{1}{n+3} ,\ ...\ \frac{1}{2n }[/tex]
Ако например [tex]n=5[/tex], редицата е [tex]\frac{1}{6 } ,\ \frac{1}{7 },\ \frac{1}{8 },\ ...\ \frac{1}{10 }[/tex].
За да е аритметична прогресия, е необходимо разликата между два съседни члена да е една и съща (разлика на аритметичната прогресия).
Е... [tex]\frac{1}{7 }-\frac{1}{6 }=^?\frac{1}{8 } -\frac{1}{7 }[/tex]...

[studentT]

Благодаря за отговорите . Разбрах къде бъркам и как трябва да стане