Гост написа:И още един, доста интересен (намерен в YouTube):
$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(3n)!}$
Отговор:
$\frac{e\sqrt{e}+2cos{\frac{\sqrt{3}}{2}}}{3\sqrt{e}}$
Този ред много напомня реда на Maclaurin за екпоненциалната функция $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$, само че в нашия случай сме взели всеки трети член и вместо х имаме 1.
Затова е интересно дали не можем да намерим такова х, че всяка трета степен на х да е равна на 1. Очевидно $x^0=1$, но трябва и $x^3=x^6=x^9=\cdots=1$. Оказва се, че това е възможно, ако разглеждаме
Комплексни числа:
$x_k\in\mathbb{C}, x_k^3=1,k=0,1,2\Rightarrow x_k=e^{\frac{2k\pi.i}{3}}\Rightarrow x_0=1;x_1=-\frac{1}{2}+i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2};x_2=-\frac{1}{2}-i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$
Тук забелязваме, че $x_2=x_1^2$ и $x_2^2=x_1^4=x_1.x_1^3=x_1.1=x_1$ - на всяка трета степен стойностите се повтарят - чудесно!
Да се върнем към реда на Maclaurin за експоненциалната функция и да го представим по малко по-различен начин $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{3n}}{(3n)!}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{3n+1}}{(3n+1)!}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{3n+2}}{(3n+2)!}$
Тук, ако х е някое от горните три комплексни числа, стойностите на степените ще се повтарят и можем да положим:
$S=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(3n)!}$
$S_1=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(3n+1)!}$
$S_2=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(3n+2)!}$
Следователно можем да напишем
$e^{x_0}=e=S+S_1+S_2$
$e^{x_1}=1+x_1+\frac{x_1^2}{2!}+\frac{x_1^3}{3!}+\frac{x_1^4}{4!}+\frac{x_1^5}{5!}+\frac{x_1^6}{6!}+\cdots=1+x_1+\frac{x_2}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{x_1}{4!}+\frac{x_2}{5!}+\frac{1}{6!}+\cdots=S+x_1.S_1+x_2.S_2$
$e^{x_2}=1+x_2+\frac{x_2^2}{2!}+\frac{x_2^3}{3!}+\frac{x_2^4}{4!}+\frac{x_2^5}{5!}+\frac{x_2^6}{6!}+\cdots=1+x_2+\frac{x_1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{x_2}{4!}+\frac{x_1}{5!}+\frac{1}{6!}+\cdots=S+x_2.S_1+x_1.S_2$
(Съществено използваме $x_1^3=x_2^3=1$ и $x_1^2=x_2$ и $x_2^2=x_1$)
Така получихме системата
$\begin{array}{|l}S+S_1+S_2=e\\S+x_1S_1+x_2S_2=e^{x_1}\\S+x_2S_1+x_1S_2=e^{x_2}\end{array}$
От която можем да изразим $S,S_1,S_2$ чрез формулите на Крамер, но нас ни интересува само $S$
$\Delta=\begin{array}{|ccc|}1&1&1\\1&x_1&x_2\\1&x_2&x_1\end{array}=x_1^2-x_2^2-x_1+x_2+x_2-x_1=3(x_2-x_1)$
$\Delta_S=\begin{array}{|ccc|}e&1&1\\e^{x_1}&x_1&x_2\\e^{x_2}&x_2&x_1\end{array}=e(x_1^2-x_2^2)-(x_1e^{x_1}-x_2e^{x_2})+(x_2e^{x_1}-x_1e^{x_2})$
$\Delta_S=e(x_2-x_1)-x_1e^{x_1}+x_2e^{x_2}+x_2e^{x_1}-x_1e^{x_2}$
$\Delta_S=(x_2-x_1)(e+e^{x_1}+e^{x_2})$
$S=\frac{\Delta_S}{\Delta}=\frac{(x_2-x_1)(e+e^{x_1}+e^{x_2})}{3(x_2-x_1)}=\frac{e+e^{x_1}+e^{x_2}}{3}$
$e^{x_1}=e^{-\frac{1}{2}+i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=e^{-\frac{1}{2}}\left(cos{\frac{\sqrt{3}}{2}}+i\cdot sin{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)=\frac{1}{\sqrt{e}}\left(cos{\frac{\sqrt{3}}{2}}+i\cdot sin{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)$
$e^{x_2}=e^{-\frac{1}{2}-i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=e^{-\frac{1}{2}}\left(cos{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}+i\cdot sin{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\right)=\frac{1}{\sqrt{e}}\left(cos{\frac{\sqrt{3}}{2}}-i\cdot sin{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)$
И окончателно
$S=\frac{e+e^{x_1}+e^{x_2}}{3}=\frac{1}{3}\left(e+\frac{1}{\sqrt{e}}\left(cos\frac{\sqrt{3}}{2}+i\cdot sin\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{1}{\sqrt{e}}\left(cos\frac{\sqrt{3}}{2}+i\cdot sin\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)=\frac{1}{3}\left(e+\frac{2}{\sqrt{e}}cos\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$$S=\frac{1}{3}\left(e+\frac{2}{\sqrt{e}}cos\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
от Гост » 01 Дек 2025, 17:14 
Меню