Сравняване на степени

[Гост]

Кое число е по-голямо: $3,14^\pi$ или $\pi^{3,14}$? Естествено можем да сметнем с калкулатор, но целта е да докажем неравенство с методите на анализа.

[ammornil]

$ \\[6pt] x>e \Rightarrow \dfrac{\ln{x}}{x} \text{ е строго намаляваща} \\[6pt] \begin{cases} \pi>3,14 \\ 3,14>е \\ \pi>e \end{cases} \Rightarrow \dfrac{\ln{3,14}}{3,14} > \dfrac{\ln{\pi}}{\pi} \quad \Leftrightarrow \quad \pi\cdot{\ln{3,14}} > 3,14\cdot{\ln{\pi}} \\[6pt] \Rightarrow \ln{3,14^{\pi}} > \ln{\pi^{3,14}} \Rightarrow 3,14^{\pi} > \pi^{3,14}$

[Гост]

Благодаря, ammornil, много елегантно решение. Моето е доста по-тромаво:

Имаме да сравним $a^{a+\epsilon}$ и $(a+\epsilon)^a$ при $a>e$ и $\epsilon>0$ - сравнително малко.

$a^{a+\epsilon}-(a+\epsilon)^a=a^a\left[a^\epsilon-\left(1+\frac{\epsilon}{a}\right)^a\right]$

$\left(1+\frac{\epsilon}{a}\right)^a=\left[\left(1+\frac{\epsilon}{a}\right)^{\frac{a}{\epsilon}}\right]^\epsilon=\left[\left(1+\frac{1}{\left(\frac{a}{\epsilon}\right)}\right)^{\left(\frac{a}{\epsilon}\right)}\right]^\epsilon<e^\epsilon$, понеже $\frac{a}{\epsilon}$ е сравнително голямо, но все пак не клони към безкрайност.

От горното следва $a^\epsilon>\left(1+\frac{\epsilon}{a}\right)^a\Rightarrow a^{a+\epsilon}-(a+\epsilon)^a>0$

Тоест при $a>e\Rightarrow a^{a+\epsilon}>(a+\epsilon)^a$