Определен интеграл MIT Integration Bee

[Davids]

Здравейте, поствам въпросния интеграл с въпроса как можем да го решим без комплексен анализ. Даван е скоро на MIT Integration Bee, на финал, така че би трябвало да е възможно без разсъждения за полюси. Само че не можах да накарам чата да го реши без комплексен анализ, така че го пускам тук за идеи и като предизвикателство за заинтересованите.

$$\int_{-\infty} ^{\infty} \left(\left(\frac{1}{x-2} +\frac{3}{x-4}+\frac{5}{x-6}\right)^{-2}+1\right)^{-1}dx$$

[ammornil]

$$\int_{-\infty} ^{\infty} \left(\left(\frac{1}{x-2} +\frac{3}{x-4}+\frac{5}{x-6}\right)^{-2}+1\right)^{-1}dx$$

$\\[6pt]$Не знам кой изкуствен интелект сте питали, но мисля че всичкикте все още се обучават по математика, и моят опит показва че халюцинират яко. Не се доверявайте на решенията им, дори когато получават правилен отговор.$\\[24pt] \text{Д}x: x\in{\mathbb{R}}_{\Large{/}\normalsize \left\{2, \frac{32-2\sqrt{31}}{9}, 4, \frac{32+2\sqrt{31}}{9}, 6 \right\}} \\[6pt] f(x)=\dfrac{1}{x-2} +\dfrac{3}{x-4}+\dfrac{5}{x-6} \\[6pt] \quad f'(x)= -\dfrac{1}{(x-2)^{2}} -\dfrac{1}{(x-4)^{2}} -\dfrac{1}{(x-6)^{2}} <0 \quad \forall x \in{\text{Д}x} \Rightarrow f(x) \text{ е строго намаляваща в } \text{Д}x \\[12pt] \because \ t=\dfrac{1}{x-2} +\dfrac{3}{x-4}+\dfrac{5}{x-6} \Leftrightarrow \quad t(x-2)(x-4)(x-6)=(x-4)(x-6)+ 3(x-2)(x-6) +5(x-2)(x-4) \\[6pt] t[(x^{2}-6x+8)(x-6)]=x^{2} -10x +24 +3x^{2} -24x +36 +5x^{2} -30x +40 \\[6pt] t(x^{3} -12x^{2} -28x -48)= 9x^{2} -64x +100 \\[6pt] tx^{3} -(12t -9)x^{2} -(28t+64)x -48t -100 =0 \\[6pt] $ Допускаме, че този тричлен спрямо $x$ има три различни корена $x_{1}, x_{2}, x_{3}$, отгава по Виет $\\[6pt] x_{1} +x_{2} +x_{3}= -\dfrac{-(12t+9)}{t}= 12- \dfrac{9}{y} \Rightarrow \dfrac{dx_{1}}{dt} +\dfrac{dx_{2}}{dt} +\dfrac{dx_{3}}{dt} =d\left(12- \dfrac{9}{t} \right) \\[6pt] \quad \dfrac{dx_{1}}{dt} +\dfrac{dx_{2}}{dt} +\dfrac{dx_{3}}{dt}= -\dfrac{9}{t^{2}} \quad \Leftrightarrow \quad \sum_{i=1}^{3}{\left| \dfrac{dx_{i}}{dt} \right|}= \dfrac{9}{t^{2}} \quad \Rightarrow dx= \dfrac{9}{t^{2}}dt \\[12pt] \left([f(x)]^{-2}+1\right)^{-1}= \left(\dfrac{1}{[f(x)]^{2}} +1 \right)^{-1}= \dfrac{[f(x)]^{2}}{1 +[f(x)]^{2}}, f(x)=t \quad \Rightarrow \\[6pt] \quad \int_{-\infty}^{\infty}{\left(\left(\dfrac{1}{x-2} +\dfrac{3}{x-4}+\dfrac{5}{x-6}\right)^{-2}+1\right)^{-1}}dx = \int_{-\infty}^{\infty}{\dfrac{t^{2}}{1+t^{2}}\cdot{\dfrac{9}{t^{2}}}dt}= 9\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}{\dfrac{dt}{1+t^{2}}}}_{\pi}= 9\pi \\[24pt]$ Проверете сметките, защото бързах, но мисля че тази идея е приложима. Също така, моля отбележете че съм работил в множеството на реалните числа. Ако разширим дефиницията до комплексно множество, ще има още изключения в дефиниционното множество.$\\[12pt]$Забележка

Скрит текст: покажи

$$\sum_{i=1}^{3}{\left| \dfrac{dx_{i}}{dt} \right|}= \dfrac{9}{t^{2}}$$ Твърдението е вярно, защото функцията е строго намаляваща, тоест $dx_{i}<0 \ \forall x_{i} \in{\text{Д}x}$