Граница със синус и корен трети

[Гост]

Измислих си една граница, но не знам дали правилно съм я решил:

$\lim_{x\to0}\left(\frac{\sqrt[3]{sin(x^2)}}{sin^2\left(\sqrt[3]{x}\right)}\right)^{\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}}=\sqrt[3]{e}$

Освен това замествах с еквивалентни функции - развития в ред на Мак Лорен и не знам дали съм взел достатъчно членове - ограничавах се до два.

[peyo]

Измислих си една граница, но не знам дали правилно съм я решил:

$\lim_{x\to0}\left(\frac{\sqrt[3]{sin(x^2)}}{sin^2\left(\sqrt[3]{x}\right)}\right)^{\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}}=\sqrt[3]{e}$

Освен това замествах с еквивалентни функции - развития в ред на Мак Лорен и не знам дали съм взел достатъчно членове - ограничавах се до два.

Лоокс гоод! Или поне отговора излиза. Не знам защо ти е ред на Мак Лорен.

[Гост]

Не знам защо ти е ред на Мак Лорен.

Използвах го за еквивалентните преобразувания - например $sinx\sim x-\frac{x^3}{6}$ и $\sqrt[3]{1-x}\sim 1-\frac{x}{3}$. Не мога да изведа граница по друг начин.

[peyo]

Не знам защо ти е ред на Мак Лорен.

Използвах го за еквивалентните преобразувания - например $sinx\sim x-\frac{x^3}{6}$ и $\sqrt[3]{1-x}\sim 1-\frac{x}{3}$. Не мога да изведа граница по друг начин.

Всъщност с Мак Лорен е по-лесно. С Лопитал е по-сложно:

Нека $t=\sqrt[3]{x}$. Тогава $x=t^3$ и $\sqrt[3]{x^2}=t^2$.

Търсената граница е

$L=\lim_{t\to0}\left(\frac{\sqrt[3]{\sin(t^6)}}{\sin^2t}\right)^{1/t^2}$.

Преобразуваме основата:

$\frac{\sqrt[3]{\sin(t^6)}}{\sin^2t}=\left(\frac{\sin(t^6)}{t^6}\right)^{1/3}\left(\frac{t}{\sin t}\right)^2$.

Следователно

$L=\lim_{t\to0}\left[\left(\frac{\sin(t^6)}{t^6}\right)^{1/3}\left(\frac{t}{\sin t}\right)^2\right]^{1/t^2}$.

Сега използваме помощната граница

$\lim_{z\to0}\frac{\ln\left(\frac{\sin z}{z}\right)}{z^2}=-\frac16$.

Тя следва от Лопитал:

$\lim_{z\to0}\frac{\ln\left(\frac{\sin z}{z}\right)}{z^2}=\lim_{z\to0}\frac{\cot z-\frac1z}{2z}=\frac12\lim_{z\to0}\frac{z\cos z-\sin z}{z^2\sin z}=\frac12\lim_{z\to0}\frac{-z\sin z}{2z\sin z+z^2\cos z}=-\frac16$.

Логаритмуваме $L$:

$\ln L=\lim_{t\to0}\frac{1}{t^2}\left[\frac13\ln\left(\frac{\sin(t^6)}{t^6}\right)-2\ln\left(\frac{\sin t}{t}\right)\right]$.

Първата част е

$\lim_{t\to0}\frac{\ln\left(\frac{\sin(t^6)}{t^6}\right)}{t^2}=\lim_{t\to0}\frac{\ln\left(\frac{\sin(t^6)}{t^6}\right)}{t^{12}}\cdot t^{10}=-\frac16\cdot0=0$.

Втората част е

$\lim_{t\to0}\frac{\ln\left(\frac{\sin t}{t}\right)}{t^2}=-\frac16$.

Затова

$\ln L=\frac13\cdot0-2\cdot\left(-\frac16\right)=\frac13$.

Следователно

$L=e^{1/3}$.

Отговор:

$\boxed{e^{1/3}}$.