Задача от индукция

[counter]

Та имам да докажа следното ... [tex]\frac{4^n}{n+1} < \frac{(2n)!}{n!^{2}} < 4^{n}[/tex]при [tex]n \ge 2[/tex]
Та логично е че най-дясното е по-голямо от най-лявото и няма нужда да го доказвам , при n=2 е изпълнено такаче ако докажа че е изпълнено за n+1 то ще е вярно за всяко n ..

[martin123456]

трябва да се докажат 2 неравенства
(1) [tex]\frac{4^n}{n+1} < \frac{(2n)!}{n!^{2}}[/tex] за [tex]n \ge 2[/tex] и
(2) [tex]\frac{(2n)!}{n!^{2}} < 4^{n}[/tex] за [tex]n \ge 2[/tex]

Ще докажем (1) с математическа индукция
(1).1. [tex]n=2[/tex]: [tex]\frac{16}{3}<\frac{4!}{2!^2}=3!=6[/tex] ок
(1).2. нека неравенството е вярно за [tex]n[/tex], т.е. [tex]\frac{4^n}{n+1} < \frac{(2n)!}{n!^{2}}[/tex]
(1).3. трябва да док, че е вярно за [tex]n+1[/tex], .т.е. [tex]\frac{4^{n+1}}{n+2} < \frac{(2n+2)!}{(n+1)!^{2}}[/tex]
дясната страна на последното е [tex]\frac{(2n+2)!}{(n+1)!^{2}}=\frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)}{n!^2(n+1)^2}=\frac{(2n)!}{n!^{2}}.\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}=\frac{(2n)!}{n!^{2}}.\frac{4n+2}{n+1}[/tex]. от (1).2. получаваме че дясната страна е [tex]> \frac{4^n}{n+1}.\frac{4n+2}{n+1}[/tex]. сега се питаме дали е вярно [tex]\frac{4^n}{n+1}.\frac{4n+2}{n+1}>\frac{4^{n+1}}{n+2}[/tex], което е равносилно на [tex]\frac{1}{n+1}.\frac{4n+2}{n+1}>\frac{4}{n+2} \Leftrightarrow 4n^2+10n+4>4n^2+8n+4[/tex], което е вярно.
Доказахме.

Ще докажем (2) с математическа индукция
(2).1. [tex]n=2[/tex]: [tex]\frac{4!}{2!^2}<4^2 \Leftrightarrow 6<16[/tex]
(2).2. допускаме, че неравенството е в сила за [tex]n[/tex], т.е. [tex]\frac{(2n)!}{n!^{2}} < 4^{n}[/tex]
(2).3. искаме да го док за [tex]n+1[/tex], т.е. да док,чe [tex]\frac{(2n+2)!}{(n+1)!^{2}} < 4^{n+1}[/tex]
от предната задача получихме че лявата страна е [tex]=\frac{(2n)!}{n!^{2}}.\frac{4n+2}{n+1}[/tex]. от индукционното предположение (2).2 тя е [tex]<4^n\frac{4n+2}{n+1}[/tex]. остава да док, че [tex]4^n\frac{4n+2}{n+1}<4^{n+1} \Leftrightarrow \frac{4n+2}{n+1}<4 \Leftrightarrow 4n+2<4n+4[/tex], което е вярно