Сума на биномни коефиценти

[Kiro]

Намерете сумата [tex]S=\left(\begin{array}{rrrr} n \\ 0 \\\end{array}\right)[/tex] [tex]+ 2\left(\begin{array}{rrrr} n \\ 1 \\\end{array}\right) + 3\left(\begin{array}{rrrr} n \\ 2 \\\end{array}\right)+...+(k+1)\left(\begin{array}{rrrr} n \\ k \\\end{array}\right)+...+(n+1)\left(\begin{array}{rrrr} n \\ n \\\end{array}\right)[/tex]

[martin.nikolov]

Разглеждаш фунцията [tex]f(x)=x(1+x)^n=\sum_{i=0}^n{n \choose i}x^{i+1}[/tex]. Намираш и пройзводната за [tex]x=1[/tex].

[Kiro]

Не схващам каква е идеята ?

[allier]

Намери производната на функцията първо и ще схванеш идеята.

[Kiro]

[tex]f(x)=x(1+x)^n=\sum_{i=0}^n{n \choose i}x^{i+1}[/tex]
[tex]f`(x)=x`(1+x)^n+xn(1+x)^{n-1}[/tex]; при [tex]x=1 => f`(1)=n2^{n-1}[/tex] и все още не мога да разбера, защо е тази производна и какво общо има със сумата [tex]S=\left(\begin{array}{rrrr} n \\ 0 \\\end{array}\right)[/tex] [tex]+ 2\left(\begin{array}{rrrr} n \\ 1 \\\end{array}\right) + 3\left(\begin{array}{rrrr} n \\ 2 \\\end{array}\right)+...+(k+1)\left(\begin{array}{rrrr} n \\ k \\\end{array}\right)+...+(n+1)\left(\begin{array}{rrrr} n \\ n \\\end{array}\right)[/tex]

[allier]

Добре, това е един начин да намериш производната. Сега я намери пак, като диференцираш поотделно всяко от събираемите в сумата. И накрая в полученото равенство на производните, положи x=1.

[Kiro]

Проблемът е, че още не сме учили диференциране. Затова ако може по друг начин...

[1089]

n nad n e kolkoto n nad 0. n nad 1 e kolkoto na nad n-1.... n nad i e kolkoto n nad (n-i+1). togava S ti stava ravno na (n+2)(n nad 0 +na nad 1.... + n nad n) razdceleno na 2. sega razglejdame n moliva. po kolko na4ina mojem da vzemem nqkolko ot tqh. ot edna strana tova e sumata ot na4inite da vzemem 0 , 1,.... n, t.e n nad 0+ n nad 1+n nad 2.... do n nad n. ot druga strana za vseki moliv imame 2 warianta - da go izberem ili ne, t. e. 2^n. Taka S stawa ravno na (n+2).2^n deleno na 2 ili (n+2)*2^(n-1).
nadqvam se da sam pomognal

[Kiro]

Мерси много, златен си

[counter]

А това (n+2)/2 пред скобите , как го намери ?