Пресметнете arctg(1/2) + arctg(1/8) +...+ arctg(1/2n^2)

[Kiro]

Пресметнете [tex]arctg\frac{1}{ 2} +arctg\frac{1}{ 8} +arctg\frac{1}{ 18} +...+arctg\frac{1}{ 2n^2}[/tex]

[martin.nikolov]

Раглеждаме равенството

[tex]\frac1{2n^2}=\frac2{(2n)^2}=\frac{(2n+1)-(2n-1)}{1+(2n+1)(2n-1)}[/tex]

Използваме формулата

[tex]arctg\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)=arctg(a)-arctg(b)[/tex]

към горното

[tex]arctg(\frac1{2n^2})=arctg\left(\frac{(2n+1)-(2n-1)}{1+(2n+1)(2n-1)}\right)=arctg(2n+1)-arctg(2n-1)[/tex]

Като запишем сумата, която се търси, се вижда, че е телескопична т.е. почти всичко се съкръщава.

[b1ck0]

Имаме задачата:
[tex]\sum _{n=1}^{\infty }\arctan \left( \frac{1}{2n^2} \right)[/tex]
Като използваме:
[tex]arctan(a) + arctan(b) = arctan \left( \frac{a+b}{1-ab} \right)[/tex]
Получаваме:
[tex]arctan \left( \frac{1}{2} \right) + arctan \left( \frac{1}{8} \right) = arctan \left( \frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{2}.\frac{1}{8}} \right) = arctan \left( \frac{2}{3} \right)[/tex]

[tex]arctan \left( \frac{2}{3} \right) + arctan \left( \frac{1}{18} \right) = arctan \left( \frac{\frac{2}{3}+\frac{1}{18}}{1-\frac{2}{3}.\frac{1}{18}} \right) = arctan \left( \frac{3}{4} \right)[/tex]

[tex]arctan \left( \frac{3}{4} \right) + arctan \left( \frac{1}{32} \right) = arctan \left( \frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{32}}{1-\frac{3}{4}.\frac{1}{32}} \right) = arctan \left( \frac{4}{5} \right)[/tex]

Искаше ми се да запиша задачата както трябва ( по-математически ), но просто не знам как .... като краен отговор ще се получи:

[tex]\sum _{n=1}^{\infty }\arctan \left( \frac{1}{2n^2} \right) = arctan \left( \frac{n}{n+1} \right) \approx \frac{\pi}{4}[/tex]

П.П: Като прочетох поста на Мартин доста неща ми се "изясниха" ...

[Kiro]

Мерси много и на двамата

[andrea_doll]

А как ще решим границата от това, тоест lim(arctg(1/2) + arctg(1/8) +...+ arctg(1/2n^2)) при n->∞.
Ще стане lim (π/4)=1/4 ???

[Гост]

[tex]\sum _{n=1}^{\infty }\arctan \left( \frac{1}{2n^2} \right) = arctan \left( \frac{n}{n+1} \right) \approx \frac{\pi}{4}[/tex]

Човека горе го е сбъркал на две места. Едното е, че от лявата страна стои число, а от другата някакъв израз зависещ от n, и второто е, че израза имал приблизителна стойност п/4. Трябва да е [tex]\sum _{k=1}^{n }\arctan \left( \frac{1}{2k^2} \right) = arctan \left( \frac{n}{n+1} \right)[/tex]. Сега последното нещо клони към п/4.