Намерете границата на функцията и f(min), f(max)

[desencet0]

Много моля някой може да ги реши да ми помогне!!!
1.Намерете границата на функцията:
[tex]\lim_{n\to1}f(x) \frac{1+2+3+...+n}{n+2} - \frac{n}{2}[/tex]

отговора трябва да е:[tex]-\frac{1}{2}[/tex]

2.Намерете най-голямата и най малката стойност на функцията в указания интервал:
[tex]y=\frac {4-x^3} {x^2}[/tex] в интервала [-4,-1]

[tex]y= \frac {x^4}{4} -2x^2[/tex] в интервала [-2,3]

отговора трябва да е
1[tex]y_max(-1)=5,y_min(-2)=3[/tex]
2[tex]y_max(3)=\frac{9}{4},y_min(-2)=y+min(2)=-4[/tex]

3.Намерете асимптотите на функцията:

[tex]f(x)=\frac{2x}{1+x^2}[/tex]

отговора трябва да е y=0 хоринзонтална асимптота.

[prodanov]

1) Има граница [tex]-\frac{1}{2}[/tex] само когато [tex]x \to \infty[/tex]. Условието е сгрешено.

Аритметична прогресия. Сума [tex]S = n\frac{(1+n)}{2}[/tex]

[tex]\lim_{n\to\infty}\{\frac{1+2+3+...+n}{n+2} - \frac{n}{2}\}[/tex]

[tex]\lim_{n\to\infty}\{ \frac{n(1+n) - n(n+2)}{2(n+2)} \} = \lim_{n\to\infty} \{ \frac{-n}{n(2 + \frac{4}{n})} \} =-\frac{1}{2}[/tex]

2.1)
[tex]y=\frac {4-x^3} {x^2}[/tex] в интервала [-4,-1] [tex]D: x\ne0[/tex]

[tex]y' = \frac{-3x^4 - 2x(4-x^3)}{x^4} = \frac{-3x^4 - 8x + 2x^4}{x^4} = \frac{-(x^3 + 8)}{x^3} = \frac{-(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{x^3}[/tex]
Второто > 0 за всяко х => остава [tex]-x^3(x+2)[/tex] при [tex]x \ne 0[/tex].
Нямалява в [tex](-\infty, -2) \cup (0, \infty)[/tex]
Расте в [tex](-2, 0)[/tex]

=> има два локални максимума, един минимум.
[tex]fmax_1 = f(-4)[/tex]
[tex]fmax_2 = f(-1)[/tex]
[tex]fmin = f(-2)[/tex]

[tex]maxf \in [-4,-1] = max\left\{
\begin{array}{ll}
f(-4) \\
f(-1)
\end{array}
\right\} = f(-1)[/tex]
[tex]minf \in [-4, -1] = f(-2)[/tex]

2.2)
[tex]y= \frac {x^4}{4} -2x^2[/tex] в интервала [-2,3]
[tex]y = \frac{x^4 - 8x^2}{4}[/tex]
[tex]y' = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)[/tex]

Намалява в [tex](-\infty, -2) \cup (0, 2)[/tex]
Расте в [tex](-2, 0) \cup (2, \infty)[/tex]

Два локални максимума, два минимума.
В [-2,3]:
[tex]ymin_1 = f(-2)[/tex]
[tex]ymin_2 = f(2)[/tex]
[tex]ymax_1 = f(0)[/tex]
[tex]ymax_2 = f(3)[/tex]

[tex]maxf \in [-2,3] = max
\left\{\begin{array}{ll}
f(0) \\
f(3)
\end{array}
\right\} = f(3)[/tex]
[tex]minf \in [-2,3] = min \left\{
\begin{array}{ll}
f(-2) \\
f(2)
\end{array}\right\} = f(\pm2)[/tex]

3) Не съм взел асимптоти все още.

[stflyfisher]

3.Намерете асимптотите на функцията:

[tex]f(x)=\frac{2x}{1+x^2}[/tex]

отговора трябва да е y=0 хоринзонтална асимптота.

Теория за намирането на асимптоти тук

Асимптотите са два вида:

1. Вертикални ( получават се в точките на прекъсване на функцията т.е. точките не принадлежащи на ДМ на фукнцията)

2. Наклонени, които се намират по формули(намирането на граници, ако те съществуват). Частен случай на наклонени са хоризонталните асимптоти.

[tex]f(x)=\frac{2x}{1+x^2}[/tex]

[tex]DM: \forall x \in R[/tex]

1. Не[tex]\exists x_0 \in DM: \lim_{x \to x_0} f(x)=\infty=>[/tex] ф-цията няма вертикални асимптоти.

2. [tex]\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty} \frac{\frac{2x}{1+x^2}}{x}=\lim_{x\to\infty} \frac{2x}{x(1+x^2)}=0=k=>[/tex] има хоризонтална(виж теорията защо).

[tex]\lim_{x\to\infty} (f(x)-kx)=\lim_{x\to\infty} (\frac{2x}{1+x^2}-0x)=\lim_{x\to\infty} \frac{2x}{1+x^2}=0=n=>y=kx+n=>y=0x+0=0=>[/tex] наклонена асимптота: [tex]y=0[/tex], която е хоризонтална.