неопределен интеграл

[vel.angelov]

Да се намери:
[tex]\int_{}^{ } \frac{dx}{x+\sqrt{3-x}+\sqrt{x-2} }[/tex]

[matst]

Решението е рутинно и дълго и нямам търпение да го пиша.

Отговор.

Нека b>0 и [tex]b^3+13b^2+27b-25=0[/tex].

Обозначавам

[tex]A=\frac{-(b^2+10b+5)\sqrt{b}}{2b^3+13b^2+25}[/tex]

[tex]B_1=2\frac{b^3+3b^2-5b+25-(2b^2+8b-50)\sqrt{b}}
{(2b^3+13b^2+25)\sqrt{13+b+10/\sqrt{b}} }[/tex]

[tex]B_2=2\frac{b^3+3b^2-5b+25+(2b^2+8b-50)\sqrt{b}}
{(2b^3+13b^2+25)\sqrt{13+b-10/\sqrt{b}}[/tex].

Отговорът е

[tex](1+A)\log{(2\sqrt{x-2}+(1+\sqrt{3-x})\frac{5+b}{\sqrt{b}}+\frac{4}{1+\sqrt{b}} )}+
(1-A)\log{(2\sqrt{x-2}-(1+\sqrt{3-x})\frac{5+b}{\sqrt{b}}+\frac{4}{1-\sqrt{b}} )}+
B_1\arctan{ \frac{1+\sqrt{b}+2\frac{\sqrt{x-2}}{1+\sqrt{3-x}}}{\sqrt{13+b+10/\sqrt{b}} }+
B_2\arctan{ \frac{1-\sqrt{b}+2\frac{\sqrt{x-2}}{1+\sqrt{3-x}}}{\sqrt{13+b-10/\sqrt{b}} }
+ const[/tex].

[vel.angelov]

Отговора е стряскащ.Как се достига до това решение...някакво упътване какво се прави в такава ситуация...

[matst]

1. сменя се променливата [tex]t=\sqrt{x-2}[/tex]
2. сменя се променливата [tex]t=\sin{\phi}[/tex]
3. прави се обща тригонометрична субституция [tex]y=\tan{\frac{\phi}{2}}[/tex]
Така се получава интеграл от правилна рационална функция
със знаменател [tex](1+y^2)[/tex] умножено по полином [tex]P(y)[/tex] от 4 степен.
Полиномът [tex]P(y)[/tex] се разлага в произведение от два
полинома от втора степен (с линейна смяна се елиминира събираемото от трета степен
и после се разлага).
4. Рационалната функция се разлага в сума от елементарни дроби
5. Интегрира се и малко се преработва отговора.

Коментар. Решението е доста по стряскащо от отговора. Всъщност,
на два пъти оставях задачата на стъпка 3. Но, в един момент,
вече доста раздразнен, направих всички изчисления. Няма да ги повторя
дори и пари да ми дават.