Теорема на Ферма

[vitoshev]

Ако функцията [tex]f(x)[/tex] е диференцируема в една вътрешна точка [tex]x_{0 }[/tex] от своята дефиниционна област и ако тя има локален екстремум в тази точка, то [tex]f`(x_{0 })=0[/tex].
Въпросът ми е свързан с доказателството:
Нека [tex]f(x_{0 })\ge (x)[/tex],т.е. имаме локален максумим в [tex]x_{0 }[/tex].
[tex]f`(x_{0 })=lim_{x->x_{0 }, x>x_{0 }} \frac{f(x)-f(x_{0 })}{x-x_{0 } }
f`(x_{0 })=lim_{x->x_{0 }, x<x_{0 }} \frac{f(x)-f(x_{0 })}{x-x_{0 } }[/tex]

Ако разгледаме часното
[tex]\frac{f(x)-f(x_{0 })}{x-x_{0 } }[/tex]
ще видим, че знакът му зависи от големината на [tex]x[/tex], принадлежащо на околността на [tex]x_{0 }[/tex] и
[tex]f'_{+ }(x_{0 })\le 0 .....
f'_{- }(x_{0 })\ge 0[/tex]
По условие двете са равни, а те са равни единствено при нулата. От където следва, че първата производна е равна на 0. Това е, но до колкото разбирам, в такъв случай [tex]f(x)=f(x_{0 })[/tex], а това със сигурност не ни е дадено..