Повърхнинен интеграл

[ferry2]

Да се пресметне повърхнниният интеграл от втори род [tex]I=\iint_{(S)}zdxdy[/tex], където [tex]S[/tex] е външната страна на елипсоида [tex]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1[/tex]

[Mark]

[tex]z=\pm c \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}[/tex]
Даденият интеграл може да се представи във вида
[tex]I=I_{1}+I_{2}[/tex] , гдето [tex]I_{1}=\int\int_{S_{1}}zdxdy[/tex], [tex]I_{2}=\int\int_{S_{2}}zdxdy[/tex]
[tex]I=2c \int\int_{(D)} \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}[/tex]
[tex]\frac{x}{a}=u, dx=adu[/tex], [tex]dy=bdv[/tex]
[tex]I=2abc \int\int_{D*} \sqrt{1-u^2-v^2}dudv[/tex]
[tex]u=rcos \theta, v=rsin \theta[/tex],[tex]0 \le r \le 1, 0\le \theta \le 2\pi[/tex]
[tex]I=2abc\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\sqrt{1-r^2}drd \theta[/tex][tex]=\frac{2}{3}abc\int_{0}^{2\pi} d\theta[/tex][tex]=\frac{4}{3}\pi abc[/tex]

[martin.nikolov]

Друг вариант е да се изпозва теоремта на Стоукс.

[ferry2]

Благодаря ти много Mark . Не знаех за това полагане, иначе и аз бях започнал по същия начин, но ми се получаваха едни сложни работи.

[martin.nikolov]

Теоремата на Соукс, която в конкретния случай също е известна като теорема на Гаус или Гаус-Острограцки, гласи следното. Ако [tex]S[/tex] е повърхнина (със правилната ориентация) заграждаща обем [tex]V[/tex] то

[tex]\iint_S F\cdot dn=\iiint_V div(F)dV[/tex]

В конкретния случай

[tex]div(z)=1[/tex]

и следователно интеграла е равен на обема на елипсоида.

[ferry2]

Само, че теоремата на Стокс е [tex]\oint_{\partial \Sigma} Fdr=\iint_{\Sigma}\text{rot} F\text{n}d \sigma[/tex]

[martin.nikolov]

Става дума за друга теорема. И двете са частен случай на теоремата на Стоукс.

[ferry2]

Искаш да кажеш, че това, което си написал ти и това, което съм написал аз са частни случаи на теоремата на Стокс? А какво гласи тя в общия случай тогава?

[martin.nikolov]

В общия случай гласи следното

[tex]\int_{\partial M} \omega =\int_M d\omega[/tex]

където [tex]M[/tex] е [tex]n[/tex]-мерно многообразие с граница [tex]\partial M[/tex], със съвместими ориентации, [tex]\omega[/tex] е [tex]n-1[/tex]-форма.

Това не беше важно, частния случай който използвах се нарича формула на Гаус-Острограцки, но не съм сигурен и не ми се търси. А всичките са частен случай на общата формула Стокс (не би ли трябвало да е Стоукс на български?).

[ferry2]

Благодаря за разясненията. Във учебниците, които аз съм използвал го пишат Стокс.