Изследване на функция

[LadyCharm]

Да се изследва функцията у = lnx+3/2x^2-4x+4
да се определят - дефиниционна област, асимптоти на функцията, екстремуми, инфлексни точки
да се построи графика в интервала х [0; 2]

Искам да помоля някой добър човек, на който му се занимава да ми помогне с решението... тоест, по-скоро, да ми реши задачата и да ми го опише подробно и да ми го обясни. Много, много благодаря

[portokal]

Да се изследва функцията у = lnx+3/2x^2-4x+4
да се определят - дефиниционна област, асимптоти на функцията, екстремуми, инфлексни точки
да се построи графика в интервала х [0; 2]

Искам да помоля някой добър човек, на който му се занимава да ми помогне с решението... тоест, по-скоро, да ми реши задачата и да ми го опише подробно и да ми го обясни. Много, много благодаря

ако не ги разбираш нещата е добре да изследваш първо някоя по проста функция, не че тази е сложна, ама е мн дълга виж само 2) и 3 )
иначе за твойта задача принципа е следният :
1)ДМ : всяко х

2)[tex]y'=\frac{\frac{2x^2-4x+4}{x}-(lnx+3)(4x-4)}{(2x^2-4x+4)^2}[/tex] от там намираш у'=0 и у'>0,y''<0
където у' е по-малка от 0 функцията намалява, където е по-голяма расте там където спира да расте и започва да намаля имаш локален максимум там където спира да намаля и започва да расте имаш локален минимум

3) намираш у''= 2 реда и повече писане, гледаш куде намаля у'' там функцията е вдлъбната, където расте - изпъкнала а за у"=0 и смяна от изпъкналост и вдлъбнатост или обратно имаш инфлексна точка

4) асимптоти - вертикални няма, понеже функцията е дефинирана за всяко х
наклонени - търсиш к = lim при х клонящо към +/- безкраиност от [tex]\frac{f(x)}{x}[/tex] и за n= lim [tex]f(x)-kx[/tex] тогава правата с уравнение y=kx-n е наклонена асимптота ако к=0 имаш хоризонтална

5) чертаеш графиката приблизително по горенамерените неща

[prodanov]

[tex]D(x): x > 0[/tex]
Ординатата ти е вертикална асимптота.

[portokal]

[tex]D(x): x > 0[/tex]
Ординатата ти е вертикална асимптота.

prodanov е прав .. еми така става като пиша в 2 и половина ... още една корекция следва от това
трябва да провериш за вертикална асимптота в х=0 както той казва

[LadyCharm]

Благодаря ви много и на двамата.
Аз явно имам големи пропуски, особено производните
При функция f= lnx -3/2*x^2 - 4x -4
Първата производна не е ли f' = 1/x-3x-4
а втората съответно f'' = 1/x^2 -3
хич не разбирам от къде идва големия и сложен израз, който си ми написал

[portokal]

Благодаря ви много и на двамата.
Аз явно имам големи пропуски, особено производните
При функция f= lnx -3/2*x^2 - 4x -4
Първата производна не е ли f' = 1/x-3x-4
а втората съответно f'' = 1/x^2 -3
хич не разбирам от къде идва големия и сложен израз, който си ми написал

явно аз не разбирам ти какво пишеш f= lnx -3/2*x^2 - 4x -4 /горе си написала +4/това какво значи

а) [tex]f(x)=\frac{lnx-3}{2x^2-4x-4}[/tex]

b) [tex]f(x)=lnx-\frac{3}{2x^2-4x-4}[/tex]

c) [tex]f(x)=lnx-\frac{3}{2x^2} -4x-4[/tex]

напиши го хубаво

[LadyCharm]

Извинявам се за кофти изписаната формула. Никога не съм ползвала LaTeX и не знаех точно как

Ето това е коректното изписване. Оправих си и сгрешения минус в предишното съобщение.
[tex]f(x)=lnx-\frac{3}{2}*{x^2} -4x+4[/tex]

[prodanov]

[tex]D(x): x > 0[/tex]
[tex]f'(x) = -\frac{3x^2 + 4x - 1}{x}[/tex]

Критични точки - [tex]0[/tex], [tex]\frac{-2 \pm \sqrt7}{3}[/tex]
[tex]f(x)\uparrow (-\infty, \frac{-2 - \sqrt7}{3}) \cup (0, \frac{-2 +\sqrt7}{3})[/tex]
[tex]f(x)\downarrow (\frac{-2 - \sqrt7}{3}), 0) \cup (\frac{-2 + \sqrt7}{3}, +\infty)[/tex]
Спрямо [tex]D(x)[/tex], имагинерната част на [tex]f(x)[/tex] е [tex](-\infty, 0)[/tex]

Съответно реален максимум е [tex]f(\frac{-2 + \sqrt7}{3})[/tex]
минимуми: [tex]\lim_{x\to 0\\x > 0} f(x)[/tex] и [tex]\lim_{x\to +\infty} f(x)[/tex]
[tex]minf_{(0, +\infty)} = min
\left{
\begin{array}{ll}
\lim_{x\to\0\\x > 0} f(x) = -\infty \\
\lim_{x\to +\infty} f(x) = \infty
\end{array}
\right.[/tex] [tex]= -\infty[/tex]

Може би не се пишат, не знам. Така и не разбрах кога се пишат, кога не.

[tex]f''(x) = \frac{x(6x + 4) - (3x^2 + 4x - 1)}{x^2} = \frac{3x^2 + 1}{x^2} > 0 \forall x \in D[/tex]

Ветикална асимптота има при ординатата [tex]\lim_{x\to0\\x > 0} f(x) = -\infty[/tex]

Начертай сега графиката от 0 до 2.

[LadyCharm]

Много, много, много благодаря