Да се изчисли lim x-->1 [tg(pi.х/4)]

[stubborn]

lim x-->1 [tg(п.х/4)] на степен п.х/2

[kerry]

Ако задачата е [tex]\lim_{x\rightarrow 1}(tg \frac{\pi x}{4})^{\frac{\pi x}{2}}[/tex] просто замести x=1.

Да не би задачата да е [tex]\lim_{x\rightarrow 1}(tg \frac{\pi x}{4})^{ tg \frac{\pi x}{2}}[/tex]

[stubborn]

ами не , защо ? айде някой да ми я реши подробно ,ако може

[ferry2]

[tex]\tan \frac{\pi}{4}=1\Rightarrow \lim_{x \to 1}\left(\tan \frac{\pi x}{4}\right)^{\frac{\pi x}{2}}=1^{\frac{\pi }{2}}=1[/tex], но ако условието на задачата ти е [tex]\lim_{x \to 1}\left(\tan \frac{\pi x}{4}\right)^{\tan \frac{\pi x}{2}}[/tex], то като заместим х с 1 получаваме [tex]1^{\infty}[/tex], което е неопределеност и се решава с правилото на Лопитал.

[WEBER]

При неопределеност от този тип не може да се приложи правилото на Лопитал. Сигурно ferry e имал предвид след преобразуванията да се приложи.

[prodanov]

[tex]\lim_{x\to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x\to a} g(x)(f(x) - 1)}[/tex] при [tex]\lim_{x\to a} f(x) = 1[/tex]

[tex]1*) \lim_{x\to1}(tg \frac{\pi x}{4})^{ tg \frac{\pi x}{2}} = e^{\lim_{x\to 1} tg\frac{\pi x}2(tg \frac{\pi x}4 - 1)}[/tex]

Разглеждаш [tex]\lim_{x\to 1} tg\frac{\pi x}2(tg \frac{\pi x}4 - 1)[/tex]

Полицаите:
[tex]-\lim_{x\to1}\sqrt3 \le \lim_{x\to1}tg \frac{\pi x}2 \le \lim_{x\to1}\sqrt 3 \ /.\lim_{x\to1} (tg\frac{\pi x}4 - 1)[/tex]

[tex]-\lim_{x\to1} \sqrt3(tg\frac{\pi x}4 - 1) \le \lim_{x\to1} tg \frac{\pi x}2(tg\frac{\pi x}4 - 1) \le \lim_{x\to1} \sqrt3(tg\frac{\pi x}4 - 1)[/tex]

[tex]0 \le \lim_{x\to1} tg\frac{\pi x}2(tg \frac{\pi x}4 - 1) \le 0[/tex]

=>[tex]\lim_{x\to1} tg\frac{\pi x}2(tg \frac{\pi x}4 - 1) = 0[/tex]

Връщаш се при 1*)
[tex]\lim_{x\to1}(tg \frac{\pi x}{4})^{ tg \frac{\pi x}{2}} = e^{\lim_{x\to 1} tg\frac{\pi x}2(tg \frac{\pi x}4 - 1)} = e^0 = 1[/tex]

[mkmarinov]

Полицаите:
[tex]-\lim_{x\to1}\sqrt3 \le \lim_{x\to1}tg \frac{\pi x}2 \le \lim_{x\to1}\sqrt 3 \ /.\lim_{x\to1} (tg\frac{\pi x}4 - 1)[/tex]

Доста красиво, но напълно грешно.

[tex]tg\frac{\pi x}{4}=y[/tex]
[tex]tg\frac{\pi x}{2}=\frac{2y}{1-y^2}[/tex]
[tex]x -> 1: y \to 1[/tex]

[tex]...=\lim_{y \to 1} y^{\frac{2y}{y^2-1}}=\lim_{y \to 1}e^{ln(y)\frac{2y}{y^2-1}}[/tex]
[tex]\lim_{y \to 1}ln(y)\frac{2y}{y^2-1}=\lim_{y \to 1} \frac{lny}{\frac{y^2-1}{2y}}=\lim_{y \to 1}\frac{lny}{\frac{y}{2}-\frac{1}{2y}}=2\lim_{y \to 1}\frac{lny}{y-\frac{1}{y}}=2\lim_{y \to 1}(\frac{\frac{1}{y}}{1+\frac{1}{y^2}})=1[/tex]
Т.е. търсената граница е [tex]e^1=e[/tex]

[prodanov]

Защо е грешно?

[mkmarinov]

Я кажи, колко е[tex]\lim_{x \to 1}tg \frac{\pi x}{2}[/tex]?

[prodanov]

Така е.

[tex]-\infty \le \lim_{x\to1} tg\frac{\pi x}2 \le \infty \ /.\lim_{x\to1} (tg\frac{\pi x}4 - 1)[/tex]

[tex]0.\infty[/tex] не е 0, ясна работата.

[ptj]

Я кажи, колко е[tex]\lim_{x \to 1}tg \frac{\pi x}{2}[/tex]?

[tex]\frac{\pi }{2 }[/tex] е точка на прекъсване за тангенса. Лявата граница е [tex]+\infty[/tex],а дясната[tex]-\infty[/tex].

[prodanov]

Да ама по твоя начин не се получава същото.

[tex]\lim_{x\to1}(tg \frac{\pi x}{4})^{ tg \frac{\pi x}{2}} = e^{\lim_{x\to 1} tg\frac{\pi x}2(tg \frac{\pi x}4 - 1)} \\

\lim_{x\to 1} tg\frac{\pi x}2(tg \frac{\pi x}4 - 1) = \lim_{x\to1} (y-1)\frac{2y}{1-y^2} = \lim_{x\to1} (y-1)\frac{2y}{(1-y)(1+y)} = -1\\e^{-1} = \frac1e[/tex]

[ganka simeonova]

Да ама по твоя начин не се получава същото.

[tex]\lim_{x\to1}(tg \frac{\pi x}{4})^{ tg \frac{\pi x}{2}} = e^{\lim_{x\to 1} tg\frac{\pi x}2(tg \frac{\pi x}4 - 1)} \\

\lim_{x\to 1} tg\frac{\pi x}2(tg \frac{\pi x}4 - 1) = \lim_{x\to1} (y-1)\frac{2y}{1-y^2} = \lim_{x\to1} (y-1)\frac{2y}{(1-y)(1+y)} = -1\\e^{-1} = \frac1e[/tex]

В голяма грешка си. Най- малкото, че минаваш към у, а оставяш х да клони....
ptj е прав, според мен.

[ganka simeonova]

Освен това, четейки постовете, всички сте променили условието на stubborn..
Той е казал, не:)
Значи, решаваме първоначалната задача.

[ptj]

[tex]lim_{x \to 1}tg\bigg( (\frac{\pi x}{4 } )^{\frac{\pi x}{2 }}\bigg)=
lim_{x \to 1}tg\bigg(\frac{\pi ^{\frac{\pi x}{2 } } x^{\frac{\pi x}{2 } }} {2^{\pi x} } \bigg)=[/tex]

използвайки непрекъснатостта на функцията тангенс в точката [tex]x=\frac{\pi ^{\frac{\pi }{ 2} }}{2^{\pi } }[/tex] записваме горното като:

[tex]tg \bigg( lim_{x \to 1}\frac{\pi ^{\frac{\pi x}{2 } } x^{\frac{\pi x}{2 } }} {2^{\pi x} } \bigg)=
tg\bigg(\frac{ lim_{x \to 1} \pi ^{\frac{\pi x}{2 } } x^{\frac{\pi x}{2 } } }{ lim_{x \to 1}2^{\pi x} }\bigg)=[/tex]

от непрекъснатостта на [tex]2^{\pi x}[/tex] в [tex]x=1[/tex]:

[tex]tg\bigg(\frac{ lim_{x \to 1} \pi ^{\frac{\pi x}{2 } } x^{\frac{\pi x}{2 } } }{ 2^{lim_{x \to 1}{\pi x}} }\bigg)=
tg\bigg(\frac{ lim_{x \to 1} \pi ^{\frac{\pi x}{2 } } x^{\frac{\pi x}{2 } } }{ 2^\pi }\bigg)=[/tex]

[tex]tg\bigg(\frac{ \big( lim_{x \to 1} \pi ^{\frac{\pi x}{2 } } \big)\big(lim_{x \to 1}{x^{\frac{\pi x}{2 } }} \big) }{ 2^\pi }\bigg)=
tg\bigg(\frac{ \big(\pi ^{ lim_{x \to 1} {\frac{\pi x}{2 } } }\big)\big(lim_{x \to 1}{x^{\frac{\pi x}{2 } }} \big) }{ 2^\pi }\bigg)=[/tex]

[tex]tg\bigg(\frac{ \big( \pi ^{\frac{\pi}{2 } }\big)\big(lim_{x \to 1}{x^{\frac{\pi x}{2 } }} \big) }{ 2^\pi }\bigg)= tg \bigg( \frac{\pi ^{\frac{\pi }{2 } }}{2^{\pi } } \bigg)=tg\bigg( \big(\frac{\sqrt{\pi } }{2 }\big) ^{\pi }\bigg)[/tex]

П.П. Нещо не съм в час. Отговора се получава директно с непрекъснатост.

[prodanov]

Въпроса не е кой е прав, кой крив, а защо се получава така. Опитвам се да разбера къде е грешката за да не е повтарям. И да, пропуснал съм [tex]y\to1[/tex], ама голяма работа.

[ptj]

Въпроса не е кой е прав, кой крив, а защо се получава така. Опитвам се да разбера къде е грешката за да не е повтарям. И да, пропуснал съм [tex]y\to1[/tex], ама голяма работа.

Не можеш да уможаваш неравенство с граница равна на нула .

[mkmarinov]

Допуснал съм грешка в преписването по-нагоре, обърнал съм знаците в знаменателя.