Обратни тригонометрични функции

[counter]

[tex]f(x) = arctg(5x + \sqrt{3})[/tex]

да се намери н.м стойност на f(x) - x в интервала [0;2]

да се докаже че [tex]f(x) \le \frac{5x}{4} + \frac{pi}{3}[/tex]

[mkmarinov]

[tex](arctg(5x+\sqrt{3})-x)'=\frac{5}{1+(5x+\sqrt{3})^2}-1=\frac{5-25x^2-10\sqrt{3}x-3}{1+(5x+\sqrt{3})^2}=\\=\frac{-25x^2-10\sqrt{3}x+2}{1+(5x+\sqrt{3})^2} =0 <=> -25x^2-10\sqrt{3}x+2=0 => x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5}[/tex] - в тази точка има екстремум. Проверява се, че е максимум, т.е. минималната стойност ще е в единия край на интервала. Оказва се, че тази минимална стойност е в х=2.

б): предполагам, че това неравенство трябва да се докаже за даденият интервал.
Преработваме:
[tex]arctg(5x+\sqrt{3}) \le \frac{5x}{4}+\frac{\pi}{3}[/tex]
[tex]arctg(5x+\sqrt{3})-\frac{\pi}{3} \le \frac{5x}{4}[/tex]
[tex]arctg(5x+\sqrt{3})+arctg(-\sqrt{3}) \le \frac{5x}{4}[/tex]
[tex]arctg(\frac{5x+\sqrt{3}-\sqrt{3}}{1-(5x+\sqrt{3})(-\sqrt{3}))}) \le \frac{5x}{4}[/tex]
[tex]arctg(\frac{5x}{5\sqrt{3}x+4}) \le \frac{5x}{4}[/tex]
[tex]arctg(\frac{5x}{5\sqrt{3}x+4}-\frac{5x}{4}) \le 0[/tex]. За улеснение полагаме [tex]5x=u[/tex]
[tex]arctg(\frac{u}{\sqrt{3}u+4})-\frac{u}{4} \le 0[/tex]. Намираш производната на лявата страна, вижда се, че функцията има максимум в нулата. Който е нула.