Условен екстремум

[stflyfisher]

Задача за студенти!

Намерете условния(те) екстремум(и) на:

[tex]f(x,y,z)=x+y+z^2[/tex], ако [tex]x^2+y^2=1[/tex]

[ptj]

Не трябва ли [tex]f(x,y,z)=a[/tex] за да се търсят екстремуми?

[mkmarinov]

Тук е условен екстремум... И може да се реши с множители на Лагранж .

[stflyfisher]

Тук е условен екстремум... И може да се реши с множители на Лагранж .

Напълно вярно. За тази задача е необходим само един множител на Лагранж.
Тази задача е давана за курсова работа в един Австрийски колеж(или университет, така и не запомних) в икономическа специалност

Въпрки това не е е от най-лесните от този тип задачи. Има 1-2 тънкости в задачата, особено втората

[ferry2]

Ще може ли да напишете пълното решение, за да го видим всички?

[mkmarinov]

[tex]F(x,y,z,\lambda )=x+y+z^2+\lambda (x^2+y^2)[/tex]
Екстремуми, в общи линии има там, където [tex]\nabla F(x,y,z,\lambda )=\vec{0}[/tex]

[stflyfisher]

Намерете условния(те) екстремум(и) на:

[tex]f(x,y,z)=x+y+z^2[/tex], ако [tex]x^2+y^2=1=>F(x,y)=x^2+y^2-1=0[/tex]

Образуваме [tex]L(x,y,z,\lambda )=x+y+z^2+\lambda (x^2+y^2-1), \lambda \in R=>[/tex]

[tex]L'_x=1+2\lambda x[/tex]

[tex]L'_y=1+2\lambda y[/tex]

[tex]L'_z=2z[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}L'_x=0\\L'_y=0\\L'_z=0\\F(x,y)=0 \end{tabular}=>\begin{tabular}{|l}1+2\lambda x=0\\1+2\lambda y=0\\2z=0\\x^2+y^2-1=0 \end{tabular}[/tex]

[tex]=>\lambda _1=-\frac{\sqrt{2}}{2}; x_1=\frac{\sqrt{2}}{2}; y_1=\frac{\sqrt{2}}{2}; z_1=0[/tex]

[tex]\lambda _2=\frac{\sqrt{2}}{2}; x_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}; y_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}; z_2=0[/tex]

[stflyfisher]

Следва продължение...

[stflyfisher]

За да определим екстремумите разглеждаме втория диферeнциал на ф-та [tex]L(x,y,z,\lambda )[/tex]

[tex]d^2L(x,y,z,\lambda )=L''_{xx}dx^2+L''_{yy}dy^2+L''_{zz}dz^2+2L''_{xy}dxdy+2L''_{xz}dxdz+2L''_{yz}dydz[/tex]

[tex]L''_{xx}=2\lambda[/tex]

[tex]L''_{yy}=2\lambda[/tex]

[tex]L''_{zz}=2[/tex]

[tex]L''_{xy}=0[/tex]

[tex]L''_{xz}=0[/tex]

[tex]L''_{yz}=0[/tex]

[tex]d^2L(x,y,z,\lambda )=2\lambda dx^2+2\lambda dy^2+2dz^2+2.0.dxdy+2.0.dxdz+2.0.dydz[/tex]

[tex]d^2L(x,y,z,\lambda )=2\lambda dx^2+2\lambda dy^2+2dz^2[/tex]

При [tex]\lambda _2=\frac{\sqrt{2}}{2}; x_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}; y_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}; z_2=0=>[/tex]

[tex]d^2L(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2} ,0,\frac{\sqrt{2}}{2} )=2\frac{\sqrt{2}}{2} dx^2+2\frac{\sqrt{2}}{2} dy^2+2dz^2=\sqrt{2}.dx^2+\sqrt{2}. dy^2+2.dz^2>0=>[/tex]

[tex]=>f_{min}(x,y,z)=f(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},0)=-\frac{\sqrt{2}}{2}+(-\frac{\sqrt{2}}{2})+0^2=-\sqrt{2}[/tex]

[stflyfisher]

Следва продължение...

[stflyfisher]

При [tex]\lambda _1=-\frac{\sqrt{2}}{2}; x_1=\frac{\sqrt{2}}{2}; y_1=\frac{\sqrt{2}}{2}; z_1=0[/tex]

[tex]d^2L(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} ,0,-\frac{\sqrt{2}}{2} )=2.(-\frac{\sqrt{2}}{2}) dx^2+2.(-\frac{\sqrt{2}}{2}) dy^2+2dz^2=\sqrt{2}.dx^2+\sqrt{2}. dy^2+2.dz^2[/tex]

[tex]d^2L(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} ,0,-\frac{\sqrt{2}}{2} )=-\sqrt{2}. dx^2-\sqrt{2} dy^2+2dz^2=-\sqrt{2}. (dx^2+ dy^2)+2dz^2[/tex]

Заб: За разлика от [tex]\lambda _2=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], при [tex]\lambda _1=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] знакa на [tex]d^2L[/tex] не може да се определи директно.

[tex]x^2+y^2=1 |d[/tex]

[tex]2xdx+2ydy=0=>[/tex]

[tex]xdx=-ydy=>dy=-\frac{x}{y}dx, y=\frac{\sqrt{2}}{2}\ne 0[/tex]

Заб.2: При решаването на [tex]\begin{tabular}{|l}1+2\lambda x=0\\1+2\lambda y=0\\2z=0\\x^2+y^2-1=0 \end{tabular}[/tex]

от 1-то и 2-то уравнение се достига до: [tex]\lambda \ne 0,x\ne 0,y\ne 0, x-y=0=>x=y=>dx=dy[/tex], което също може да се използва.

[stflyfisher]

Следва последно продължение...

[stflyfisher]

[tex]d^2L(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} ,0,-\frac{\sqrt{2}}{2} )=-\sqrt{2}. (dx^2+ dy^2)+2dz^2[/tex]

От така намерените условия =>

[tex]d^2L(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} ,0,-\frac{\sqrt{2}}{2} )=-\sqrt{2}. [dx^2+ (-\frac{x}{y}dx)^2]+2dz^2=)=-\sqrt{2}. [dx^2+ \frac{x^2}{y^2}dx^2]+2dz^2=[/tex]

[tex]=-\sqrt{2}. [dx^2+ \frac{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}dx^2]+2dz^2=-2\sqrt{2}dx^2+2dz^2[/tex]

т.е.

[tex]d^2L(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} ,0,-\frac{\sqrt{2}}{2} )=-2\sqrt{2}dx^2+2dz^2[/tex]

при:
[tex]1.) dx=0=>d^2L(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} ,0,-\frac{\sqrt{2}}{2} )=-2\sqrt{2}.0^2+2dz^2=2dz^2>0[/tex]

[tex]2.)dz=0=>d^2L(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} ,0,-\frac{\sqrt{2}}{2} )=-2\sqrt{2}.dx2+2.0^2=-2\sqrt{2} dx^2<0[/tex]

От 1.) и 2.) => че ф-та няма условен екстремим в т-та [tex]( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} ,0)[/tex]

Окончателно:

[tex]f(x,y,z)=x+y+z^2[/tex] има условен екстремум при [tex]x^2+y^2=1[/tex] в: [tex](x=- \frac{\sqrt{2}}{2}; y=-\frac{\sqrt{2}}{2}; z=0, ), f_{min}=-\sqrt{2}[/tex]

Край

п.п. Задача за икономическа специалност, за изпит по Висша математика, а? Какво ще стане, ако такива дават за изпит в икономически специалности в БГ?

[mkmarinov]

Полагаме [tex]x=sinu, y=cosu[/tex]
[tex]f(u, z)=\sqrt{2}sin(\frac{\pi}{4}+u)+z^2[/tex], екстремумите на което се намират по-лесно . Даже и без Лагранж се минава .