Изпит по МА

[Anubis]

1. Нека [tex]f: \, [a; \, b] \, \to \, R[/tex] е непрекъсната функция на един аргумент и [tex]\operatorname{Gr}f[/tex] е нейната графика. Да се докаже, че [tex]\operatorname{Gr}f[/tex] е пренебрежимо множество в равнината (т. е. има лице и то е нула). Тази графика измерима ли е по Пеано - Жордан?

2. Разгледайте множеството [tex]A = \left\{ (x; \, y) \in R: \, x \in Q, \, y \in Q, \, x^2+y^2 \le 1\right\}[/tex]. Това множество пренебрежимо ли е по Лебег? Дали е измеримо по Пеано - Жордан? Обосновете се.

Моля, решете ми ги. Искам да знам как стават.

[drago]

1. Трябва да покрием Gr f с правоъгълници с произволно малко общо лице. Използва се, че f е равномерно непрекъсната(щом е непрекъсната в компактно множество) Да фиксираме сега [tex]\epsilon \gt 0 => \exists \delta \gt 0, s.t. if |x-y| \lt \delta,=> |f(x)-f(y)| \lt \epsilon. Let: a=x_0 \lt x_1 \lt ... \lt x_n \lt x_n+1 = b, and |x_i - x_i+1| \lt \delta[/tex] Поради горното Gr f се покрива със следните правоъгълници: [tex](x_i;f(x_i)-\epsilon),(x_i;f(x_i)+\epsilon),(x_i + 1;f(x_i)-\epsilon),(x_i + 1;f(x_i)+\epsilon), i=0,1,...n[/tex]. Общото им лице е:[tex]2\epsilon (b-a)[/tex], което можем да правим произволно малко. Тъй като покритието е крайно => че и Жордановата мярка на Gr f е 0.

2. А е с Лебегова мярка 0, тъй като е изброимо(стандартния трик: покриваме първата точка с правoъгълник с лице [tex]\epsilon / 2[/tex], втората с [tex]\epsilon / 4[/tex] и т.н. имаме изброимо покритие с лице [tex]\lt \epsilon[/tex]) A не е измеримо по Жордан. Долната Жорданова мярка е 0(по дефиниция), горната няма как да е 0, тъй като ако има крайно покритие с лице <1, то ще има непокрита точка от ед. кръг и тъй като е крайно ще има непокрита околност на тази точка, а там ще има рационална точка.