въпрос за разлагане на функция в степенен ред

[exp]

Привет на математиците. Опитвам се от известно време да избистря отговора на един въпрос, който е следния.
Известно е, че за произволна безкрайно гладка функция можем да запишем реда на Маклорен, а необходимо и достатъчно условие, за да бъде този ред сума на въпросната функция, е остатъчния член във формулата на Маклорен да клони към нула с нарастването на реда на производните.
За функцията

[tex]f(x)=\{exp(-\frac{1}{x^2}), x\neq 0 \\0, x=0[/tex]

лесно се показва, че е безкрайно гладка и че всички производни от произволен ред съществуват, и че[tex]f^{(n)}(0)=0[/tex]. Тогава сумата на реда на Маклорен е тъждествено нула и очевидно не съвпада с функцията [tex]f[/tex]. При тази ситуация интерес представлява въпроса , как да докажем, че остатъчният член във формулата на Маклорен за функцията f не клони към нула? За производната от ред n знаем че има вид на рационална функция по експонента, но понеже не успявам да изведа обща формула по която да оценим коефициентите на тази рационална функция не виждам и как да оценим и остатъчния член.
Моля всеки който има идея да дава акъл.

[mkmarinov]

Функцията, която си дал за пример, не е аналитична. Дефиницията f(0)=0 я прави непрекъсната, но не и аналитична в тази точка.
Ето малко по-прост пример:
[tex]f(x)=\{sinx, x\neq 0 \\0, x=0[/tex], [tex]g(x)=sinx[/tex].
Въпреки, че двете функции са непрекъснати, диференцируеми и приемат равни стойности в нулата, те не са еквивалентни.

[exp]

Бих искал да попитам, как установявате, че функцията не е аналитична?
Мисля че имате грешка в примера.
Двете функции f и g, които сте написал са всъщност една и съща функция.

[mkmarinov]

Я тогава ми кажи дали [tex]f'(0)=g'(0)[/tex] .

[exp]

Ами очевидно е така. Иначе ми е ясно, че горната функция, която е додефинирана експонента е различна от функцията, която е само експонентата, защото експонентата не е дефинирана в нулата. Явно това сте искали да кажете, с въпросния пример със синуса, макар това да не е никакъв пример, защото двете функции са напълно идентични. Това обаче, като цяло, не отговаря на поставения въпрос.

[mkmarinov]

Я провери пак дали очевидно е така, защото май нито не е очевидно, нито не е така .
В твоя случай със функцията - границата ти в нулата я прави непрекъсната. От друга страна, производната й е прекъсната в нулата. Както и производната втори, трети и т.н. ред. По-точна дефиниция би било:
[tex]f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}, x \ne 0; f^{(n)}(0)=\lim_{x \to 0} f^{(n)}(x)[/tex], където [tex]f^{(n)}(x)[/tex] обозначава н-тата производна.

[exp]

Странно е че никой досега не е взел участие, за да поправи глупостите, които пишете. Та вие не знаете дефиницията за производна, а си позволявате да пишете в тема, която е доста по-дълбока от формалното прилагане на правилата за диференциране.
За вашата функция f вземете и образувайте диференчното частно за точката x=0 и сметнете границата при х клонящо към нула, свежда се до (sin x)/x, която е точно производната на вашата функция g в нулата.

Колкото до примера с експонентата, като цяло, сега откривам, че отговорът на въпроса отчасти се съдържа още във формулировката. С просто допускане на противното се оказва, че ако общия член клони към нула, то се влиза във противоречие със необходимото и достатъчно условие формулирано по-горе. Както и да е. Все пак, ако някой има конкретна идея за разумна оценка на остатъчния член, нека се включи.

[mkmarinov]

Като ще говорим за писане на глупости, ето една твоя:

Известно е, че за произволна безкрайно гладка функция можем да запишем реда на Маклорен, а необходимо и достатъчно условие, за да бъде този ред сума на въпросната функция, е остатъчния член във формулата на Маклорен да клони към нула с нарастването на реда на производните.

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series , обаче казва:

Even if the Taylor series of a function f does converge, its limit need not in general be equal to the value of the function f(x). For example, the function

- и са дали точно твоята функция.

[drago]

Като ще говорим за писане на глупости, ето една твоя:

Известно е, че за произволна безкрайно гладка функция можем да запишем реда на Маклорен, а необходимо и достатъчно условие, за да бъде този ред сума на въпросната функция, е остатъчния член във формулата на Маклорен да клони към нула с нарастването на реда на производните.

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series , обаче казва:

Even if the Taylor series of a function f does converge, its limit need not in general be equal to the value of the function f(x). For example, the function

- и са дали точно твоята функция.

Ами дадената ф-я наистина е безкрайно гладка. Първото цитирано нещо не е глупост и не противоричи на дадения пример в wikipedia, просто очевидно остатъчния член не клони към 0 за никое x различно от 0.

[exp]

Щях да пиша ферман, за да нахраня колегата, ама се отказах. Всъщност за остатъчния член, че не клони към нула, ако тръгне да се смята, не е съвсем очевидно, аз за това и зададох въпроса, после се сетих за допускане на противното, инак само това е причината тази функция да не може да се развие в степенен ред.

[drago]

Всъщност, не мога да разбера смисъла на тази задача и какво си имал предвид, като си я пуснал ?
f(x) се развива около 0-та за всяко n така: f(x)=0+f(x), остатъчния член (за всяко n) е = на f(x).

[exp]

Привет. Ами това което си написал не е вярно. Остатъчният член под формата на Лагранж например, е [tex]R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}[/tex] където 0<θ<1 и идеята беше да се види директно, че при n->∞ ,[tex]R_n(x)[/tex] не клони към нула, за което си трябва оценка на модула отдолу.

[drago]

Привет. Ами това което си написал не е вярно. Остатъчният член под формата на Лагранж например, е [tex]R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}[/tex] където 0<θ<1 и идеята беше да се види директно, че при n->∞ ,[tex]R_n(x)[/tex] не клони към нула, за което си трябва оценка на модула отдолу.

Какво да ти кажа? От време на време, май често, пиша и глупости . Но не и в този случай!!
Просто всички тези представяния(на Лагранж, Коши, интегрална форма...) и оценки на остатъчния член, май ти пречат, за да видиш нещо съвсем елементарно. Забрави ги за момент и виж, че в този конкретен случай [tex]R_n(x) = f(x)[/tex]. Нали така?

[exp]

Всъщност, така е. Като се разпише формулата на Маклорен става очевидно наистина. Няма нужда изобщо да се смята този остатъчен член. Благодаря за уточнението. Това беше по въпроса. Изчерпахме темата.