въпрос за ограниченост на числова редица

[exp]

Имам още една питанка. Как да докажем, че ако редицата [tex]\{a_n\}_{n=0}^\infty, a_0\neq 0[/tex] e ограничена, а [tex]\{x_n\}_{n=0}^\infty[/tex] удовлетворявa рекурентната зависимимост

[tex]x_n=-\frac{1}{a_0}(a_nx_{0}+\dots+a_1x_{n-1})[/tex]
[tex]x_0=\frac{1}{a_0}[/tex]

то и [tex]\{x_n\}_{n=0}^\infty[/tex] е ограничена?

[drago]

Задачата хваща око, но нещо, не е както трябва...
просто в този вид това не е вярно.
Вземи следния контрапример: [tex]a_0=1, a_i=-1, i:=1,2...[/tex] [tex]\{a_i\}[/tex] очевидно е ограничена.
Тогава [tex]x_0=1, x_1=1, x_n=x_0+...+x_{n-1}[/tex] и очевидно не е ограничена !?
Ако си я видял отнякъде, провери още един път как е условието!

[exp]

Привет. Задачката не съм я видял от никъде. Сам стигнах до нея, но явно някъде имам грешка в разсъжденията. Тази задачка произтича от следната. Ако [tex]f(z)[/tex] е степенен ред с ненулев свободен член и има положителен радиус на сходимост, то и [tex]\frac{1}{f(z)}[/tex] е степенен ред с положителен радиус на сходимост, при това този радиус на сходимост не надминава разстоянието от точката, около която развиваме до най близката нула на f(z).

[exp]

Значи условието трябва да се поправи с това, че искаме [tex]\sqrt[n]{|x_n|}[/tex] да е ограничена.

[drago]

Значи условието трябва да се поправи с това, че искаме [tex]\sqrt[n]{|x_n|}[/tex] да е ограничена.

Е да де, но вече задачата престава да бъде интересна, защото това е вече доста слабо изискване и се доказва лесно и с доста груби оценки!