x.arccosx.dx

[Martin S]

Може ли някой подробно,с обяснение да реши този интеграл
$ x.arccosx.dx
Знам попринцип,че може да се реши с и без полагане
Моля само за повече обяснения, Мерси =)

[portokal]

полагаш х да бъде равно на cosx така dx=dcosx=-sinxdx arccos(cosx)=x заместваш с тези, използваш формула за двоен ъгъл да ти се получи син 2 пъти алфа и интегриране по части ако не можеш по късно ще ти го разпиша цялото а ако ти трябва без полагане ще ти го изпиша и него въпреки че е по добре да положиш

[allier]

Не може да полагаш x да ти е равно на cosx .... Поне използвай друга буква - заради такива замествания се объркват хората, като им се предава този материал в университета.

[Martin S]

arccos(cosx)=x това как го получи и да,ако може да ми го разпишеш без полагането,а ако не те мързи може и с полагането също да съм по-сигурен =)

[бахар32]

ако ми дадеш мейл адрес ще ти изпратя решението без полагане,нова съм в сайта и не ми се губи време да пиша тук и аз имам задачи за решаване

[Martin S]

mkgad@abv.bg

[stflyfisher]

Може ли някой подробно,с обяснение да реши този интеграл
$ x.arccosx.dx
Знам попринцип,че може да се реши с и без полагане
Моля само за повече обяснения, Мерси =)

[tex]\int x.arccos x dx =\frac{1}{2}\int arccos x dx^2=\frac{1}{2}[x^2 arccos x - \int x^2 d arccos x] = \frac{1}{2}[x^2 arccos x + \int x^2 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}d x] = ...[/tex]

[Martin S]

а после какво следва

[stflyfisher]

Остава да се реши само:

[tex]\int x^2 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}d x =\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}d x =-\int \frac{-x^2}{\sqrt{1-x^2}}d x = -\int \frac{1-x^2-1}{\sqrt{1-x^2}}d x =-[\int \frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}d x-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}d x =-[\int \frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}d x-arcsin x]=[/tex]

[tex]=-[\int \frac{(\sqrt{1-x^2})^2}{\sqrt{1-x^2}}d x-arcsin x]=-[\int \sqrt{1-x^2}d x-arcsin x]=>[/tex]

[tex]\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}d x=-\int \sqrt{1-x^2}d x+arcsin x[/tex]

Сега остава да се реши:

[tex]\int \sqrt{1-x^2}d x[/tex]

1-начин: [tex]x= sin t=> dx=cos t dt[/tex]

[tex]\int \sqrt{1-x^2}d x=\int \sqrt{1-sin^2x}.cost dt=\int cost.cost dt=\int cos^2tdt=\frac{1}{2} \int (1+cos2t)dt=[/tex]

[tex]=\frac{1}{2}[\int dt+ \int cos2tdt]=\frac{1}{2}[t+\frac{1}{2} \int cos2t dt]=\frac{1}{2}[t+\frac{1}{2}sin2t]+C[/tex]

2-начин:

[tex]\int \sqrt{1-x^2}d x=x\sqrt{1-x^2}- \int x d\sqrt{1-x^2}=x\sqrt{1-x^2}+ \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=>[/tex]

[tex]\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}d x=-[x\sqrt{1-x^2}+ \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx]+arcsin x=>[/tex]

[tex]\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}d x=-x\sqrt{1-x^2}- \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx+arcsin x=>[/tex]

[tex]\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}d x+ \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=-x\sqrt{1-x^2}+arcsin x+C=>[/tex]

[tex]2\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=-x\sqrt{1-x^2}+arcsin x+C=>[/tex]

[tex]\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{1}{2}[-x\sqrt{1-x^2}+arcsin x]+C[/tex]

[Martin S]

Производната на [tex]\sqrt{1-x^2}[/tex] не е ли [tex]\frac{2x}{ \sqrt{1-x^2}[/tex]

[stflyfisher]

Производната на [tex]\sqrt{1-x^2}[/tex] не е ли [tex]\frac{2x}{ \sqrt{1-x^2}[/tex]

Не е, a e:

[tex](\sqrt{1-x^2})'=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}[/tex]