Една лесна сума

[Добромир Глухаров]

На който му се занимава с нещо лесно (но свързано с доста сметки), предлагам сумата:

[tex]S=\sum_{k=1}^{+\infty} k^2.7^{-k}[/tex]

Ако някой иска да си свери отговора, да пише на ЛС.

[pipi langstrump]

Ще дам само идеята, техническата част е скучна и трудоемка.

Да намерим най-напред [tex]\sum_{\nu = 1}^{n} \frac{\nu}{7^{\nu}}[/tex]

Правим следното нещо:

[tex]\sum_{\nu = 1}^{n} \frac{\nu}{7^{\nu}}[/tex][tex]= \sum_{\nu = 1}^{n} \frac{\nu + 1 - 1}{7^{\nu}}[/tex][tex]= \sum_{\nu = 1}^{n} \frac{\nu + 1}{7^{\nu}}[/tex][tex]-\sum_{\nu = 1}^{n} \frac{1}{7^{\nu}}[/tex][tex]= 7\sum_{\nu = 1}^{n} \frac{\nu + 1}{7^{\nu + 1}}[/tex][tex]-\sum_{\nu = 1}^{n} \frac{1}{7^{\nu}}[/tex][tex]= 7\sum_{\nu = 1}^{n} {\frac{\nu}{7^{\nu}} - 1}[/tex][tex]-\sum_{\nu = 1}^{n} \frac{1}{7^{\nu}}[/tex]

Тъй като [tex]\sum_{\nu = 1}^{n} \frac{1}{7^{\nu}}[/tex] е сумя на геометрична прогресия, от горното уравнение можем да намерим [tex]\sum_{\nu = 1}^{n} \frac{\nu}{7^{\nu}}[/tex]

Като използваме този резултат по същия начин пресмятаме и [tex]\sum_{\nu = 1}^{n} \frac{\nu^2}{7^{\nu}}[/tex] :

[Добромир Глухаров]

По-нататък можем да използваме, че [tex]k^2=(k-1)^2+2k-1[/tex] .